Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.4 - Ex. 13
(a) Mostre que, se satisfizer a equação logística , então
(b) Deduza que a população cresce mais rapidamente quando ela atinge a metade de sua capacidade de suporte.
Passo 1
(a) Beleza, galera? A equação logística à qual o enunciado faz referência é esta:
Pra mostrarmos que aquela expressão de é verdadeira, podemos partir da equação logística, tomando a derivada em relação a dos dois lados, pois lembre-se:
Usamos a regra do produto, e agora não se esqueça de usar a regra da cadeia quando for derivar algum termo que envolva , pois depende de , não é uma constante como ou , beleza? Então vamo lá:
Mas podemos substituir o valor de da equação logística:
Agora é só ir ajeitando, colocando uns termos em evidência, pra ficar na forma fatorada bonitinho igual o exercício quer que a gente mostre:
Passo 2
(b) Se queremos saber em que ponto uma população cresce mais rapidamente, então o que estamos buscando é o ponto onde ocorre o máximo da taxa de crescimento
Pra não carregar a notação e te confundir, vamos dizer que a taxa de crescimento é a partir de agora, beleza? Então queremos saber onde ocorre o máximo global de Pra isso, lembra lá do Cálculo, a gente tem que primeiro achar quem são os pontos críticos, fazendo:
Mas, voltando à notação original:
Ou seja, já calculamos a tal no item anterior, agora é só igualar a !
Então os pontos críticos são:
Já sabemos que e representam soluções de equilíbrio, onde a taxa de crescimento é nula, e portanto não representam máximos dessa taxa.
Mas pra sermos rigorosos, ainda teríamos que acrescentar como possíveis pontos de máximo os extremos do domínio de :
(já analisamos esse caso)
(faz com que )
Então só nos resta concluir que quando , a taxa de crescimento da população é máxima!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)