Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.5 - Ex. 40
Mostre que é contínua em .
Passo 1
Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
O enunciado pede para mostrarmos que a função dada é contínua em toda a reta real. Todavia, existe uma particularidade: a função dada é definida por partes, ela é definida por duas equações. Assim, temos que mostrar que as partes são contínuas e, além disso, que no ponto de colagem a função é contínua.
Para isso, o limite deve coincidir com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Vamos mostrar primeiro que é contínua para .
é uma função contínua (função trigonométrica) em seu domínio. O mesmo vale para .
Assim, para , é uma uma função contínua.
Passo 3
Vamos verificar agora se é contínua em . Para isso, calculemos os limites laterais. Pela esquerda (), , de modo que
À direita (), , de modo que
Como os limites laterais são iguais, temos que o limite existe e vale :
Além disso, precisamos agora saber se o limite no ponto é igual a função neste ponto, sendo esse o segundo requisito para continuidade das funções, para
Assim, é contínua em . Desta forma, provamos que é contínua em toda parte.
Resposta
Demonstração.