Mostre que

∫ 0 1 1 x p d x

Converge se p < 1 e diverge se p >= 1 .

Passo 1

Bom galera, a questão quer saber se a integral converge quando p < 1 e p ≥ 1 :

∫ 0 1 1 x p d x

Passo 2

Belezinha, vamos integrar logo:

∫ 0 1 1 x p d x

= x - p + 1 - p + 1 0 1

Para p ≠ 1

= 1 1 - p 1 - lim x → 0 ⁡ x 1 - p

= 1 p - 1

Passo 3

Logo, concluímos que a integral converge em:

1 - p > 0

→ p < 1

E diverge em:

1 - p < 0

→ p > 1  

Por fim, testamos o que acontece quando p = 1

∫ 0 1 1 x d x = ln ⁡ x 0 1 = - ln ⁡ 0 = ∞

Ou seja diverge, então diverge também para p = 1 , assim a região de divergência é:

p ≥ 1

Resposta

C o n v e r g e : p < 1

D i v e r g e : p ≥ 1

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