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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 71

Mostre que

int_0^1 (1)/(x^p) d x

Converge se p < 1 e diverge se p >= 1 .

Passo 1

Bom galera, a questão quer saber se a integral converge quando p < 1 e p >= 1 :

int_0^1 (1)/(x^p) d x

Passo 2

Belezinha, vamos integrar logo:

int_0^1 (1)/(x^p) d x

= [(x^(- p + 1))/(- p + 1)]_0^1

Para p != 1

= (1)/(1 - p) [1 - underset(x -> 0)(lim) x^(1 - p)]

= (1)/(p) [- 1]

Passo 3

Logo, concluímos que a integral converge em:

1 - p > 0

-> p < 1

E diverge em:

1 - p < 0

-> p > 1

Por fim, testamos o que acontece quando p = 1

int_0^1 (1)/(x) d x = [ln |x|]_0^1 = - ln |0| = oo

Ou seja diverge, então diverge também para p = 1 , assim a região de divergência é:

p >= 1

Resposta

C o n v e r g e : p < 1

D i v e r g e : p >= 1

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