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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 8d

Sejam alpha e s , s > 0 , reais dados. Verifique que

int_0^(+ oo) e^(- s t) d t = (1)/(s)

Passo 1

Como estamos tratando de uma integral imprópria, vamos aplicar o limite

int_0^(+ oo) e^(- s t) d t = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s t) d t

Passo 2

Agora podemos calcular a integral

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s t) d t = underset(A -> + oo)(lim) [- (e^(- s t))/(s)]_0^A

= underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(s e^(s t))]_0^A

Passo 3

Substituindo os limites de integração

underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(s e^(s t))]_0^A = underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(s e^(s A)) + (1)/(s e^0)]

No limite a primeira fração vai zerar, então temos

int_0^(+ oo) e^(- s t) d t = (1)/(s)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫