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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1e

Calcule:

int_0^(+ oo) t e^(- t) d t

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_0^(+ oo) t e^(- t) d t = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A t e^(- t) d t

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, utilizando a integração por partes

int f * g^' d t = f * g - int f^' * g d t

Neste caso nossas funções são

{[[f = t],[g^' = e^(- t)]]) -> (f^' = 1)/(g = - e^(- t))

Então

int t e^(- t) d t = - t e^(- t) - int (- e^(- t)) d t

= - t e^(- t) + int e^(- t) d t = - t e^(- t) - e^(- t) + C

Voltando ao limite

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A t e^(- t) d t = underset(A -> + oo)(lim) [- t e^(- t) - e^(- t)]_0^A

= underset(A -> + oo)(lim) [- (t)/(e^t) - (1)/(e^t)]_0^A

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

underset(A -> + oo)(lim) [- (t)/(e^t) - (1)/(e^t)]_0^A = underset(A -> + oo)(lim) [- (A)/(e^A) - (1)/(e^A) + (0)/(e^0) + (1)/(e^0)]

= underset(A -> + oo)(lim) [- (A)/(e^A) - (1)/(e^A) + 1]

Utilizando a propriedade do limite para dividir em uma soma de limites temos

= - underset(A -> + oo)(lim) (A)/(e^A) - underset(A -> + oo)(lim) (1)/(e^A) + 1

Para o segundo limite, não precisamos de muita análise, ele vai para zero, mas para calcular o primeiro, vamos usar L’Hospital, então focando somente nesse limite

underset(A -> + oo)(lim) (A)/(e^A) = underset(A -> + oo)(lim) (1)/(e^A) = 0

Então temos que

underset(A -> + oo)(lim) [- (A)/(e^A) - (1)/(e^A) + 1] = 1

Resposta

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Exercício 22 – Calcule a Integral abaixo: ∫ 0 ∞ 2 e - θ s e nθd θ
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫