Mostre que a curva com equações paramétricas

x = t cos ⁡ t   ,           y = t   s e n   t   ,           z = t

está no cone z 2 = x 2 + y 2 , e use esse fato para esboçar a curva.

Passo 1

Eaee, tudo tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:

x = t cos ⁡ t   ,           y = t   s e n   t   ,           z = t

O enunciado ainda nos disse que essa curva está dentro de um cone com equação:

z 2 = x 2 + y 2

Com isso, queremos esboçar a nossa curva.

Mas como fazemos isso???

Bom, pessoal... Para provar que a curva está de fato no cone, vamos tentar chegar na equação do cone a partir das equações paramétricas da curva.

Ou seja, vamos substituir duas equações paramétricas na equação do cone e vamos verificar se bateu o resultado!! Se bater, então está provado!! Aí é só a gente plotar depois 😉

Passo 2

Vamos pegar x 2 + y 2 da equação do cone e vamos pegar as equações paramétricas x e y para substituir:

x 2 + y 2 = t cos ⁡ t 2 + t   s e n   t 2

Colocando t 2 em evidência:

x 2 + y 2 = t 2 cos 2 ⁡ t + s e n 2   t

Sabemos de uma identidade trigonométrica que cos 2 ⁡ t + s e n 2   t = 1 , portanto:

x 2 + y 2 = t 2

Então, como queríamos, chegamos na equação do cone substituindo t :

x 2 + y 2 = z 2

Passo 3

Show! Pela equação do cone, sabemos que a curva está contida num cone circular cujo eixo é o eixo z .

E olhando pra equação paramétrica z = t , acabamos de concluir que essa curva deve ser uma espiral, olha só:

Resposta

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