Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I-VI). Justifique sua escolha.

x = t, y = 1 / (1 + t^2), z = t^2

Passo 1

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A questão nos dá 3 funções de x t , y t , z ( t ) de modo que precisamos identificar qual das figuras representa uma função f ( x t , y t , z ( t ) ) .

Para que consigamos identificar isso, precisamos avaliar como essa função se comporta nos planos x z , x y , y z .

Para isso, basta escrevermos a relação entre x   e   z , y   e   z e x   e   y , dois a dois separadamente.

Encontrando o comportamento nos planos, podemos comparar com os gráficos para ver qual deles melhor representa a função f ( x , y , z ) .

Passo 2

A relação entre x   e   z é dada por

x = t                             z = t 2

z = x 2

Desse modo, o comportamento de nossa função no plano x z é o de uma parábola

A relação entre x   e   y é dada por

x = t                                   y = 1 1 + t 2

y = 1 1 + x 2

Desse modo, o comportamento de nossa função no plano x y é o de uma hipérbole

A relação entre y   e   z é dada por

z = t 2                                 y = 1 1 + t 2

y = 1 1 + z

Logo, o comportamento no plano z y também é o de uma hipérbole.

Passo 3

Sabendo o comportamento da função em todos os planos, precisamos comparar nossos resultados com os gráficos.

Dentre os gráficos, aquele que melhor se encaixa com o que descrevemos é o V por conta de seu comportamento nos planos ser igual ao esperado.

Resposta

O gráfico deve ser o V.

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