Enunciado

Mostre que a curva com equações paramétricas

x = s e n   t   ,           y = cos ⁡ t   ,           z = s e n 2   t

é a curva de intersecção das superfícies z = x 2 e x 2 + y 2 = 1 . Use esse fato para esboçar a curva.

Passo 1

Eaee, tudo tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:

x = s e n   t   ,           y = cos ⁡ t   ,           z = s e n 2   t

O enunciado ainda nos disse que essa curva é a intersecção das seguintes superfícies:

z = x 2 e x 2 + y 2 = 1

Com isso, queremos esboçar a nossa curva.

Mas como fazemos isso???

Bom, pessoal... Para provar que a curva é de fato a intersecção das duas superfícies, vamos tentar chegar nas equações das duas superfícies a partir das equações paramétricas da curva.

Ou seja, vamos substituir as equações paramétricas na equação das superfícies e vamos verificar se bateu o resultado!! Se bater, então está provado!! Aí é só a gente plotar depois 😉

Passo 2

Vamos pegar a equação paramétrica de x e elevar ela ao quadrado:

x = s e n   t ∴

x 2 = s e n 2   t

Podemos concluir então que:

x 2 = z

Agora, vamos pegar as equações paramétricas de x e y e somar seus quadrados:

x 2 + y 2 = s e n 2   t + cos 2 ⁡ t ∴

Sabemos de uma identidade trigonométrica que cos 2 ⁡ t + s e n 2   t = 1 , portanto:

x 2 + y 2 = 1

Então, como queríamos, chegamos nas equações das duas superfícies:

x 2 = z

x 2 + y 2 = 1

Passo 3

Show! Agora, pra esboçar a curva, vamos desenhar as duas superfícies: a intersecção entre elas vai ser a nossa curva, beleza?

Para você enxergar melhor:

Resposta

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(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.(b) Encontre r’(t)(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t. r t = e 2 t i + e t j, t = 0
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura.y = x e^x
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) . (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = t ,3 cos ⁡ t ,3 sen ⁡ t
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) . (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = 2 t ,e t , e - t
Utilize o teorema 10 para encontrar a curvatura.r (t) = t^3 j + t^2 k