Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.1 - Ex. 28
Mostre que a curva com equações paramétricas
é a curva de intersecção das superfícies e . Use esse fato para esboçar a curva.
Passo 1
Eaee, tudo tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:
O enunciado ainda nos disse que essa curva é a intersecção das seguintes superfícies:
e
Com isso, queremos esboçar a nossa curva.
Mas como fazemos isso???
Bom, pessoal... Para provar que a curva é de fato a intersecção das duas superfícies, vamos tentar chegar nas equações das duas superfícies a partir das equações paramétricas da curva.
Ou seja, vamos substituir as equações paramétricas na equação das superfícies e vamos verificar se bateu o resultado!! Se bater, então está provado!! Aí é só a gente plotar depois 😉
Passo 2
Vamos pegar a equação paramétrica de e elevar ela ao quadrado:
Podemos concluir então que:
Agora, vamos pegar as equações paramétricas de e e somar seus quadrados:
Sabemos de uma identidade trigonométrica que , portanto:
Então, como queríamos, chegamos nas equações das duas superfícies:
Passo 3
Show! Agora, pra esboçar a curva, vamos desenhar as duas superfícies: a intersecção entre elas vai ser a nossa curva, beleza?
Para você enxergar melhor:
Resposta
