Utilize o teorema 10 para encontrar a curvatura.

r(t) = t^3 * j + t^2 * k

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Vamos dar uma olhada no teorema 10 antes de iniciarmos:

k = r ' × r ' ' r ' t 3

Em que k é a curvatura de uma curva parametrizada r t .

O primeiro passo �� obter a derivada da curva dada. Temos:

r ' t = 3 t 2 j ^ + 2 t   k ^

A segunda derivada também precisa ser calculada:

r ' ' t = 6 t   j ^ + 2   k ^

Passo 2

Como a primeira e segunda derivadas já foram calculadas, podemos agora calcular o produto vetorial delas:

r ' t × r ' ' t = i j k 0 3 t 2 2 t 0 6 t 2

Deveremos então calcular o determinante da nossa matriz:

r ' t × r ' ' t = i j k 0 3 t 2 2 t 0 6 t 2 i 0 0       j 3 t 2 6 t

Calculando o determinante:

r ' t × r ' ' t = î 3 t 2 2 + 0 + 0 - 0 - 6 t 2 t i ^ - 0

r ' t × r ' ' t = - 6 t 2 i ^

Passo 3

O modulo do vetor tangente r ' ( t ) é:

r ' t = 0 2 + 3 t 2 2 + 2 t 2

r ' t = 9 t 4 + 4 t 2

Já o modulo do produto vetorial, calculado no passo 2, é:

r ' t × r ' ' t = 6 t 2

Passo 4

Substituindo os resultados obtidos nos passos anteriores, dentro da fórmula do Teorema 10, obtemos a curvatura da função vetorial dada:

k t = r ' t × r ' ' t r ' t 3

Colocando as derivadas:

k t = 6 t 2 9 t 4 + 4 t 2 3

k t = 6 t 2 9 t 4 + 4 t 2 3 / 2

Resposta

6 t 2 9 t 4 + 4 t 2 3 / 2

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