Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva.

r(t) = 〈 cos(t), sen(2t), sen(t), sen(2t), cos(2t) 〉

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos utilizar uma ferramenta gráfica para esboçar a seguinte curva vetorial:

r t = cos ⁡ t s e n   2 t ,   s e n   t   s e n   2 t , cos ⁡ 2 t

Assim, deveremos analisar o seu domínio para entender a natureza da curva.

Para isso, deveremos procurar alguma restrição que faça com que a equação não exista (divisão por zero, raiz de números negativos, indeterminações em geral).

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Analisando as equações paramétricas da curva, temos:

x = cos ⁡ t s e n   2 t

y =     s e n   t   s e n   2 t

z = cos ⁡ 2 t

Não há restrições para que essa curva não exista. Assim, o domínio são todos os números reais!!

Assim, temos a seguinte figura:

Obs: desconsidere o ponto P e sua tangente.

Como todas as funções componentes são compostas de senos ou cossenos, podemos ter certeza que a curva está contida no cubo - 1 ≤ x ≤ 1   ,       - 1 ≤ y ≤ 1   ,       - 1 ≤ z ≤ 1 :

Para uma outra visualização, podemos fazer tipo um tubo em volta da curva:

Resposta

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