Mostre que a curva com equações paramétricas

x = t 2   ,           y = 1 - 3 t   ,           z = 1 + t 3

passa pelos pontos 1 ,   4 ,   0 e 9 ,   - 8 ,   28 , mas não passa pelo ponto 4 ,   7 ,   - 6 .

Passo 1

Eai. Certinho? Vamos entender como resolver?

Temos uma curva com as seguintes equações paramétricas:

x = t 2   ,         y = 1 - 3 t   ,           z = 1 + t 3

E queremos mostrar que ela passa pelos pontos   1 ,   4 ,   0 e 9 ,   - 8 ,   28 , mas não passa pelo ponto 4 ,   7 ,   - 6 .

Para isso

Vvamos utilizar procedimentos simples de substituição das coordenadas dos pontos dados nas equações paramétricas da curva, podemos determinar se a curva passa por esses pontos ou não.

Na prática a gente vai pegar uma das equações paramétricas, de preferência a mais simples, e substituir sua coordenada de um ponto. Assim a gente descobre quem é t e depois é só substituir t nas outras equações paramétricas e calcular o ponto referente a t .

Se bater com o ponto do enunciado, então a curva passa por esse ponto!

Passo 2

Vamos começar com a equação mais simples:

y = 1 - 3 t

E o ponto 1 ,   4 ,   0 . Nesse caso temos y = 4 , então:

y = 1 - 3 t = 4

3 t = - 3

t = - 1

Descobrimos t , agora vamos validar t nas outras equações!

Passo 3

y = 1 - 3 t = 4

3 t = - 3

t = - 1

Passo 4

Agora, vejamos se esse mesmo valor de t = - 1 nos dará x = 1 e z = 0 :

x = t 2 = - 1 2

x = 1

Agora z :

z = 1 + t 3 = 1 + - 1 3

z = 1 + - 1 = 0

Sim! O ponto 1 ,   4 ,   0 faz parte da curva.

Passo 5

Show! Vamos repetir o processo para o ponto 9 ,   - 8 ,   28 , começando de novo com a equação mais simples::

y = 1 - 3 t = - 8

t = 3

Agora x :

x = t 2 = 3 2 = 9

E por fim z :

z = 1 + t 3 = 1 + 3 3

z = 28

Certo! O ponto 9 ,   - 8 ,   28 também faz parte da curva.

Passo 6

Agora, o mesmo processo para o ponto 4 ,   7 ,   - 6 :

y = 1 - 3 t = 7

t = - 2

Calculamos x :

x = t 2 = - 2 2 = 4

E z :

z = 1 + t 3 = 1 + - 2 3

z = 1 + - 8 = - 7

Vish! De acordo com nosso valor de t , teríamos que ter z = - 7 , mas o ponto 4 ,   7 ,   - 6 corresponde a z = - 6 . Então esse ponto não pode fazer parte da curva, entendeu?

Resposta

Os valores verdadeiros indicam que a curva passa pelos pontos ( 1,4 , 0 ) e ( 9 , - 8,28 ) , enquanto um valor falso indica que a curva não passa pelo ponto ( 4,7 , - 6 ) .

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