Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.1 - Ex. 41
Mostre que a curva com equações paramétricas
passa pelos pontos e , mas não passa pelo ponto .
Passo 1
Eai. Certinho? Vamos entender como resolver?
Temos uma curva com as seguintes equações paramétricas:
E queremos mostrar que ela passa pelos pontos e , mas não passa pelo ponto .
Para isso
Vvamos utilizar procedimentos simples de substituição das coordenadas dos pontos dados nas equações paramétricas da curva, podemos determinar se a curva passa por esses pontos ou não.
Na prática a gente vai pegar uma das equações paramétricas, de preferência a mais simples, e substituir sua coordenada de um ponto. Assim a gente descobre quem é e depois é só substituir nas outras equações paramétricas e calcular o ponto referente a .
Se bater com o ponto do enunciado, então a curva passa por esse ponto!
Passo 2
Vamos começar com a equação mais simples:
E o ponto . Nesse caso temos , então:
Descobrimos , agora vamos validar nas outras equações!
Passo 3
Passo 4
Agora, vejamos se esse mesmo valor de nos dará e :
Agora :
Sim! O ponto faz parte da curva.
Passo 5
Show! Vamos repetir o processo para o ponto , começando de novo com a equação mais simples::
Agora :
E por fim :
Certo! O ponto também faz parte da curva.
Passo 6
Agora, o mesmo processo para o ponto :
Calculamos :
E :
Vish! De acordo com nosso valor de , teríamos que ter , mas o ponto corresponde a . Então esse ponto não pode fazer parte da curva, entendeu?
Resposta
Os valores verdadeiros indicam que a curva passa pelos pontos e , enquanto um valor falso indica que a curva não passa pelo ponto