Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 40
Encontre os vetores , e no ponto indicado.
Passo 1
Olá, meu amigo. Eu e você agora iremos juntos resolvermos essa atividade.
A gente tem a curva parametrizada:
E um ponto:
A gente precisa encontrar os vetores :
Sendo esse o nosso vetor tangente.
O vetor normal unitário :
E por último o vetor binormal:
Então é com essas fórmulas que iremos resolver essa atividade.
Passo 2
O ponto corresponde a , então após calcularmos as equações de , iremos aplicar o ponto nelas.
Então temos que:
Para calcular usaremos a fórmula:
Calculando , deveremos utilizar a regra do produto aqui, pois temos um produto de funções:
E
Calculando o módulo:
Assim, temos que
Utilizando de identidades trigonométricas:
E:
Teremos então:
Assim, em :
Isso implica que:
Passo 3
Agora, para encontrarmos fazemos:
O modulo de é:
Teremos:
Realizando o produto notável:
Iremos utilizar novamente das identidades trigonométricas:
E:
E assim, teremos:
Agora, substituindo isso na formula:
Temos então:
Assim para
Passo 4
E
Então,
Para realizar esse produto vetorial, deveremos utilizar o determinante de uma matriz:
Resposta
Assim, obtemos , e .