Em que pontos a curva r(t) = t + 2t - t^2 k intercepta o paraboloide z = x^2 + y^2 ?

Passo 1

Eaee, tudo tranquilo??

Bom... O enunciado nos deu uma curva descrita pela seguinte função vetorial:

r → t = t i → + 2 t - t 2 k →

Queremos encontrar os pontos em que essa curva intercepta o paraboloide dado por:

z = x 2 + y 2

Assim, primeiro deveremos pegar as equações paramétricas da nossa curva e aplicar na equação do paraboloide para descobrirmos os valores de t .

Com isso, substituiremos os valores de t na equação vetorial para descobrirmos os pontos de interceptação.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Nesse exercício, temos que as equações paramétricas para a curva são:

x = t ,     y = 0 ,     z = 2 t - t 2

Iremos substituir esses valores na equação fornecida para o paraboloide:

2 t - t 2 = t 2 + 0 2 ∴

2 t 2 - 2 t = 0

Dividindo ambos os lados da equação encontrada por 2 , temos:

t 2 - t = 0

Isolando t :

t t - 1 = 0

Logo, para a equação ser satisfeita, devemos ter t = 0 ou t = 1 .

Passo 3

Substituindo os valores de t encontrados na equação da curva, obteremos os pontos de interseção.

Para t = 0 :

r → 0 = 0

Para t = 1 :

r → 1 = 1 i → + 2 1 - 1 2 k → ∴

r → 1 = i → + k →

Sendo assim, os pontos de interseção são ( 0,0 , 0 ) e ( 1,0 , 1 ) .

Resposta

( 0,0 , 0 )

( 1,0 , 1 )

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