Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 15

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

e^(2 x) = s e n ( x + 3 y )

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[e^(2 x)]^' = [ s e n ( x + 3 y ) ]^'

Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

e^(2 x) * [2 x]^' = cos (x + 3 y) * [ x + 3 y ] '

e^(2 x) * 2 = cos (x + 3 y) * [1 + 3 * (d y)/(d x)]^'

(d y)/(d x) = (2 e^(2 x) - cos ( x + 3 y ))/(3 cos (x + 3 y))

Resposta

(d y)/(d x) = (2 e^(2 x) - cos ( x + 3 y ))/(3 cos (x + 3 y))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoa) x 2 - y 2 = 4
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoh) x 2 y 3 + x y = 2
Suponha que y = f x seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação x y 2 + y + x = 1 Mostre que f ' x = - 1 - f x 2 2 xf x + 1 em todo x ∈ D f com 2 xf x + 1 ≠ 0
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãof) x y + y 3 = x
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoe) x 2 + 4 y 2 = 3