Use a derivação implícita para determinar d y // d x em x y = c o t g ( x y )

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 10

Use a derivação implícita para determinar em

Passo 1

Para obtermos o termo , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto quanto como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções e

Ao derivarmos as funções que depende de , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

Temos que derivar funções trigonométricas agora. O procedimento continua exatamente o mesmo. Basta visualizar como regra da cadeia. A derivada da função de fora aplicada a de dentro vezes a derivada da de fora. Temos então:

Precisamos agora aplicar a regra do produto. Então:

Resposta

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Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãof) x y + y 3 = x

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoe) x 2 + 4 y 2 = 3

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãol) 5 y + cos ⁡ y = x y

Determine uma função y = f x que seja dada implicitamente pela equação x y 2 + y + x = 1

A função y = f x é dada implicitamente pela equação x y + 3 = 2 x . Mostre que x d y d x = 2 - y . Calcule d y d x x = 2 .