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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 10

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

x y = c o t g ( x y )

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[x y]^' = [ c o t g ( x y ) ]^'

Temos que derivar funções trigonométricas agora. O procedimento continua exatamente o mesmo. Basta visualizar como regra da cadeia. A derivada da função de fora (c o t g (u)) aplicada a de dentro ( x y ) vezes a derivada da de fora. Temos então:

[x y]^' = - cos sec^2 ( x y ) * [ x y ] '

Precisamos agora aplicar a regra do produto. Então:

[x]^' y + x [y]^' = - cossec^2 ( x y ) * ( [x]^' y + x [ y ] ' )

y + x * (d y)/(d x) = - cossec^2 ( x y ) * ( y + x * (d y)/(d x) )

x * (1 + cossec^2 (x y)) * (d y)/(d x) = y * (cossec^2 (x y) + 1)

(d y)/(d x) = - (y)/(x)

Resposta

(d y)/(d x) = - (y)/(x)

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Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãol) 5 y + cos ⁡ y = x y
Determine uma função y = f x que seja dada implicitamente pela equação x y 2 + y + x = 1
A função y = f x é dada implicitamente pela equação x y + 3 = 2 x . Mostre que x d y d x = 2 - y . Calcule d y d x x = 2 .
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