Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 4

Use a derivação implícita para determinar em

Passo 1

Para obtermos o termo , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto quanto como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções e

Ao derivarmos as funções que depende de , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

Aplicando a regra do produto, temos:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A função y = f x é dada implicitamente pela equação 3 y 2 + 2 x y - x 2 = 3 . Sabe-se que, para todo x ∈ D f , f x0 e que f admite uma reta tangente T paralela à reta 5 y - x = 2 . Determine T .

Verifique que y 0 x + x 0 y = 2 é a equação da reta tangente à curva x y = 1 no ponto x 0 , y 0 , x 00 . Conclua que x 0 , y 0 é o ponto médio do segmento A B , em que A e B são interseções da reta ta

A reta tangente à curva x 2 3 + y 2 3 = 1 , no ponto x 0 , y 0 , x 00 e y 00 , intercepta os eixos x e y nos pontos A e B , respectivamente. Mostre que a distância de A e B não depende de x 0 , y 0 .

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoi) x e y + x y = 3

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãom) 2 y + sen ⁡ y = x