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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 54

Use as propriedades de integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

π 6 ≤ ∫ π / 6 π / 2 sen ⁡ x d x ≤ π 3

Passo 1

Queremos provar que o valor da integral está entre certos valores. A propriedade que relaciona a integral com valores máximo e mínimo que ela pode ter é o teorema do valor médio para integrais (Propriedade 8 no livro texto). O teorema diz que se temos uma função contínua num intervalo [ a ,   b ] , e essa função dentro do intervalo tem valor máximo M e valor mínimo m , então:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Entao podemos resolver o problema encontrando os valores máximo e mínimo absoluto da função no intervalo e aplicando o teorema.

Passo 2

Temos a função f x = sen ⁡ x no intervalo π 6 ,   π 2 . Para valores entre 0 e π 2 , estamos no primeiro quadrante, e o seno é crescente. Então o valor mínimo da função ocorre no início do intervalo, e o máximo ocorre no final. Temos então os valores de m e M :

m = sen ⁡ π 6 = 1 2

M = sen ⁡ π 2 = 1

Aplicando então o teorema:

1 2 π 2 - π 6 ≤ ∫ π 6 π 2 sen ⁡ x d x ≤ 1 π 2 - π 6

⇒ 1 2 ⋅ 3 π - π 6 ≤ ∫ π 6 π 2 sen ⁡ x d x ≤ 3 π - π 6

⇒ π 6 ≤ ∫ π 6 π 2 sen ⁡ x d x ≤ π 3

E está provado o que queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se ∫ 0 9 f x d x = 37 e ∫ 0 9 g x d x = 16 , encontre ∫ 0 9 2 f x + 3 g x d x .
Se f for contínua em a , b , mostre que ∫ a bf x d x ≤ ∫ a b |f x | d x Use o resultado da parte a) para mostrar que ∫ 0 π 2f xs e nxd x ≤ ∫ 0 π 2f xd x
Seja f x = 0 se x for um número racional qualquer e f x = 1 se x for um número irracional qualquer. Mostre que f não é integrável em 0,1 .
Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade. ∫ 0 π 2 x sen ⁡ xd x ≤ π 2 8
Demonstre a propriedade 3 das integrais.