Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 54
Use as propriedades de integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.
Passo 1
Queremos provar que o valor da integral está entre certos valores. A propriedade que relaciona a integral com valores máximo e mínimo que ela pode ter é o teorema do valor médio para integrais (Propriedade 8 no livro texto). O teorema diz que se temos uma função contínua num intervalo , e essa função dentro do intervalo tem valor máximo e valor mínimo , então:
Entao podemos resolver o problema encontrando os valores máximo e mínimo absoluto da função no intervalo e aplicando o teorema.
Passo 2
Temos a função no intervalo . Para valores entre e , estamos no primeiro quadrante, e o seno é crescente. Então o valor mínimo da função ocorre no início do intervalo, e o máximo ocorre no final. Temos então os valores de e :
Aplicando então o teorema:
E está provado o que queríamos.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)