11 - Mostre que as curvas 2x^2 + 3y^2 = 5 e y^2 = x^3 são ortogonais.

Passo 1

Vamos plotar as curvas:

Podemos observar que a intersecção das retas se dão no ponto: ( 1,1 ) .

Passo 2

Assim:

2 x 2 + 3 y 2 = 5 ⇒ 4 x + 6 y y ' = 0

6 y y ' = - 4 x ⇒ y ' = - 4 x 6 y → - 2 x 3 y

E

y ' 1,1 =   - 2 ⋅ 1 3 ⋅ 1 = - 2 3

Passo 3

Deste modo:

y 1 2 = x 3 ⇒ 2 y 1 y 1 ' = 3 x 2

y 1 ' = 3 x 2 2 y

E

y 1 ' 1,1 = 3 ⋅ 1 2 2 ⋅ 1 = 3 2

Logo:

y ' 1 ⋅ y ' = 3 2 ⋅ - 2 3 = - 6 6 = - 1

Logo podemos afirmar que as curvas são ortogonais.

Resposta

São ortogonais!

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