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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.3 - Ex. 14

Um reservatório de 200 galões está ocupado até a metade com água destilada. No instante t = 0 , uma solução que contém 0,5   l b / g a l de concentrado entra no reservatório a uma taxa de 5   g a l / m i n , e a mistura bem agitada é extraída a uma taxa de 3 g a l / m i n .

  1. Em que instante o reservatório estará cheio?
  2. No momento em que estiver cheio, quantas libras de concentrado conterá?

Passo 1

  1. A variação do volume será dado pela diferença entre o que entra e o que sai, ou seja:

    2. d V d t = 5 - 3 = 2

    Como o reservatório tem capacidade para 200 galões e está cheio até a metade, o volume inicial é 100 galões.

    Então, o volume do reservatório no instante t é dado por:

    V t = 100 + 2 t

    Ele estará cheio quando o volume for igual a capacidade máxima, 200 galões...

    V t = 100 + 2 t = 200

    2 t = 100 → t = 50

    Então, o reservatório estará cheio no instante de 50 minutos.

    Passo 2

  2. Seja y ( t ) a quantidade em libras de concentrado no tanque. Buscamos y ( 50 ) .

Bom, vamos fazer a variação dessa quantidade em função do tempo, numa equação diferencial. Temos que:

d y d t = 1 2 l b g a l 5   g a l m i n - y 100 + 2 t l b g a l 3 g a l m i n

É o concentrado que tinha no galão menos a quantidade que está sendo extraída em função do tempo.

Desenvolvendo e simplificando, ficamos com:

d y d t = 5 2 - 3 2 y 50 + t

Que é igual a:

d y d t + 3 2 ( 50 + t ) y = 5 2

Passo 2

Vamos separa a última expressão em:

Q t = 5 2 e P t = 3 2 1 50 + t

Faremos a integral de P ( t ) agora:

∫ 3 2 1 50 + t d t = 3 2 ∫ 1 50 + t   d t   = 3 2 ln ⁡ t + 50

Agora a gente faz:

v t = e ∫ P t d t = e 3 2 ln ⁡ t + 50 = t + 50 3 2

Então...

y t = 1 t + 50 3 2 ∫ 5 2 t + 50 3 2   d t

Que nos dá:

y t = t + 50 - 3 2   t + 50 5 2 + C

Somamos os expoentes:

y t = t + 50 + C t + 50 3 2  

Só falta achar o valor da constante agora. Pra isso a gente usa o valor inicial, e como não tinha concentrado no início, y 0 = 0 . Substituímos e achamos o valor de C:

y 0 = 0 + 50 + C 0 + 50 3 2

C =   - 50 5 2

Então...

y t = t + 50 - 50 5 2 t + 50 3 2  

Como o que a gente procura é a quantidade de concentrado quando o tanque tá cheio, procuramos y ( 50 ) . Aí é só substituir na fórmula...

y 50 = 50 + 50 - 50 5 2 50 + 50 3 2 ≅ 83,22

Então, o tanque contém cerca de 83,22   l b de concentrado quando está cheio.

Resposta

  1. 50 minutos.
  2. 83,22   l b .
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