Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 66

Mostre que as curvas e se interceptam nos ângulos retos.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver juntos essa atividade.

Aqui a gente tem as curvas:

E queremos prova que quando elas se interceptam, isso acontece em um ângulo reto, isso é, ângulo de .

Se queremos mostrar que duas curvas se interceptam, a primeira coisa que precisamos fazer é igualar as duas equações para encontrar os ângulos em que eles se encontram.

Outro ponto em que elas vão se interceptar é na origem quando , que apesar de não existir um ângulo onde , a origem em si, o ponto, em coordenadas polares, é considerado um ponto de todas as angulações, como ele não tem distância, não tem diferença.

Logo, os pontos de intersecção dessa curva são e .

Então, o que iremos fazer aqui, depois de termos descoberto os pontos de interseção entre essas curvas em um ponto tangente delas, é descobrimos qual é o ângulo dessa tangencia, e como você bem sabe, tangencia e ângulo nos remete a derivadas.

Passo 2

Para descobrirmos o ângulo de intersecção vamos calcular a inclinação da tangente em cada ponto. Para isso, vamos usar a fórmula:

Para derivar as curvas vamos chamar de curva a curva

e de curva a curva

Vamos também chamar a inclinação da curva de e a inclinação da curva de . Então,

Fazendo umas simplificações trigonométricas com as relações e

Calculando agora a inclinação para a curva :

Fazendo umas simplificações trigonométricas com as relações e

Passo 3

Como vamos analisar também os pontos quando , precisamos encontrar para quais ângulos isso acontece nas curvas e .

Para curva :

Isso acontece quando e . Para a curva ,

Isso ocorre em e .

Passo 4

Por fim, vamos analisar as inclinações, para isso precisamos analisar pontos onde as curvas e tem ângulo e , além disso pontos onde as curvas tem .

Para

Mas calculando os limites laterais

Esses valores do limite indicam uma inclinação vertical.

Isso indica uma inclinação horizontal. Se temos em uma curva uma inclinação horizontal e na outra uma vertical, as duas se interceptam neste ponto com um ângulo reto.

Passo 5

Para

E como calculamos o limite em cima, sabemos que se trata de uma inclinação vertical.

Assim como para , temos uma inclinação vertical e outra horizontal, portanto se interceptam com ângulo reto.

Passo 6

Para , na curva com ângulos e temos uma inclinação

Então, sempre que a curva está na origem, sua inclinação é horizontal. Na curva com ângulos e

Analisando no limite

Temos para na curva uma inclinação vertical.

Para também temos uma inclinação vertical. Sempre que a curva está na origem, sua inclinação é vertical. Se para a curva tem inclinação horizontal e a curva vertical, elas se interceptam por ângulos retos.