Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 47
Se , mostre que:
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar teorema com regra da cadeia, vamos lá!
A questão nos diz que há uma função do tipo e pede para que provemos o seguinte:
Certo, mas como fazemos isso?
Antes de tudo, a fim de facilitar nosso problema, vamos definir o seguinte:
Então podemos reescrever
Mas nesse formato podemos usar a regra da cadeia para funções com múltiplas variáveis!
Para uma função no formato onde e , a derivada pode ser definida como:
E a derivada pode ser definida como:
Então vamos definir essa variáveis para substituir na equação proposta e prová-la!
Passo 2
Vamos começar descobrindo as derivadas parciais de em relação a e !
Para , quando tratamos como constante, ficamos com
E para , quando tratamos como constante, ficamos com
Já para as derivadas de e não tem muito segredo
Nós definimos e como
Então vamos ter
Substituindo todos esses valores lá na regra da cadeia de a gente fica com
E agora substituindo em nós ficamos com
Passo 3
Ok, agora determinamos as derivadas que precisamos. O que devemos fazer agora é testar a igualdade do enunciado, que é:
Para o lado esquerdo da equação, ao substituir nós teremos:
Ou ainda, usando a regra da cadeia para derivar em novamente
Agora vamos expandir o lado direito, de forma que:
Usando a regra da cadeia novamente para encontrar a derivada segunda em
Multiplicando por (igual no enunciado) teremos:
Sendo assim, o resultado que chegamos é que:
Então fica provado que, de fato:
Como queríamos demonstrar 😊.
Resposta
A equação
É válida!