Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 72
- Mostre que a curvatura em cada ponto de uma reta é .
- Mostre que a curvatura em cada ponto do círculo de raio é .
Passo 1
Queremos encontrar a curvatura de uma reta, intuitivamente a gente sabe que uma reta não faz nenhuma curva (por isso tem o nome de reta), mas como podemos mostrar matematicamente que a curvatura de uma reta é igual a zero? Bom, vamos lembrar a fórmula da curvatura:
Vamos lembrar também que uma reta tem equação do tipo , então o que precisamos fazer é encontrar suas derivadas com relação a e jogar na fórmula da curvatura:
Sendo uma constante, então
Agora basta jogar esses valores na fórmula de
Assim, comprovamos que a curvatura de uma reta é igual a zero.
Passo 2
- Agora nós queremos mostrar que a curvatura em cada ponto de um círculo de raio é .
Para isso, vamos usar a equação paramétrica de um círculo:
E agora podemos usar esses valores na equação da curvatura:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo valor de θ é o indicado. Faça um esboço da curva e mostre χ e α .25. r = θ 2 ; θ = π 2
Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo valor de θ é o indicado. Faça um esboço da curva e mostre χ e α .28. r = 2 ( 1 - s e n θ ) ; θ = π
Nos exercícios de 29 a 32, ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados:29. r = 2 c o s θ r = 2 s e n θ ; 2 , π 4
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes18. r = 2 s e n 3 θ
Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo valor de θ é o indicado. Faça um esboço da curva e mostre χ e α .26. r = c o s 2 θ ; θ = π 12