Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 2
- Qual é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
- O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
Passo 1
Fala pessoal!
Uma série de potências tem a seguinte forma:
E a questão quer que a gente defina o seu raio e o intervalo de convergência. E diga como fazemos pra achar cada um! Você se lembra como faz isso?
Existem apenas três possibilidades em relação a convergência de uma série de potências:
- A série converge apenas quando
- A série converge para todo
- Existe um número positivo tal que a série converge se e diverge se
Vamos precisar avaliar o raio e o intervalo de convergência de forma separada para cada um desses casos.
Passo 2
O raio de convergência de uma série de potências é o número .
Por convenção, temos em que a série converge apenas pra um valor , o raio de convergência é zero:
Algumas séries convergem para todo e qualquer valor de , dizemos, nesses casos que o raio de convergência é infinito:
Em outros casos, ele pode assumir algum valor finito não nulo.
O Teste da Razão ou, em alguns casos, o Teste da Raíz devem ser usados para determinar o raio de convergência . Porém, esses testes sempre falham quando é uma extremidade do intervalo de convergência, sendo assim, as extremidades devem ser estudadas com outros testes, como o teste da série alternada ou regras de convergência, como das p-séries e outros.
Passo 3
O intervalo de convergência de uma série de potências é aquele que consiste em todos os valores de para os quais a série converge.
Quando a série só converge em , então o intervalo de convergência consiste apenas no único ponto .
Se a série converge para todos os valores de , então o intervalo são todos os reais:
No caso de a série convergir para um intervalo finito e não nulo, a desigualdade pode ser reescrita como:
O negócio aqui é que a gente precisa definir se esse intervalo é aberto ou fechado. Não esquece dessa parte!
Quando é uma extremidade do intervalo, isto é, , qualquer coisa pode acontecer. A s��rie pode convergir em uma ou ambas as extremidades ou divergir em ambas as extremidades. Portanto, neste caso, existem quatro possibilidades para o intervalo de convergência:
Portanto, para determinar o intervalo de convergência, devemos determinar o valor de e depois avaliar a convergência nas duas extremidades. E o teste usado vai depender da forma da nossa série.
Resposta
Questão teórica.