Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 44

Demonstre que, se for uma série condicionalmente convergente e for qualquer número real, então existe um rearranjo de cuja soma é . [Sugestões: Use a notação do Exercício 39. Tome o menor número de termos positivos de modo que sua soma seja maior que . Então adicione o menor número de termos negativos de tal modo que a soma cumulativa seja menor que . Continue dessa maneira e use o Teorema 11.2.6.]

Passo 1

Pessoal, vamos construir um rearranjo de conforme a sugestão do exercício, e chamar essa nova série de .

Tomando o menor número de termos positivos de modo que sua soma seja maior que , e então adicionando o menor número de termos negativos de tal modo que a soma cumulativa seja menor que , a série construída dessa forma terá somas parciais que oscilarão acima e abaixo do valor .

Passo 2

Como temos convergente, então, pelo Teorema 11.2.6, deve-se ter necessariamente:

E como o tamanho das oscilações é sempre menor do que por causa do modo como foi construída, nós teremos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 2 ∞ n ln ⁡ n n

(a) Calcule a soma parcial s 5 da série ∑ n = 1 ∞ 1 n2 n . Use o Exercício 34 para estimar o erro ao usar s 5 como uma aproximação da soma da série.(b) Calcule um valor de n de maneira que s n aproxim

Utilize a soma dos primeiros dez termos para aproximar a soma da série ∑ n = 1 ∞ n 2 n Use o Exercício 34 para estimar o erro.

Seja ∑ a n uma série com termos positivos e seja r n = a n + 1 a n . Suponha que l i m n → ∞r n = L1 , assim ∑ a n converge pelo Teste da Razão. Como habitualmente, faça R n ser o resto depois de n te

Mostre que a série ∑ n = 0 ∞ x n / n ! converge para todo x .Deduza que o lim n → ∞ ⁡ x n / n ! = 0 para todo x .