Demonstre que, se ∑ a n for uma série condicionalmente convergente e r for qualquer número real, então existe um rearranjo de ∑ a n cuja soma é r . [Sugestões: Use a notação do Exercício 39. Tome o menor número de termos positivos a n + de modo que sua soma seja maior que r . Então adicione o menor número de termos negativos a n - de tal modo que a soma cumulativa seja menor que r . Continue dessa maneira e use o Teorema 11.2.6.]

Passo 1

Pessoal, vamos construir um rearranjo de ∑ a n conforme a sugestão do exercício, e chamar essa nova série de ∑ b n .

Tomando o menor número de termos positivos a n + de modo que sua soma seja maior que r , e então adicionando o menor número de termos negativos a n - de tal modo que a soma cumulativa seja menor que r , a série ∑ b n construída dessa forma terá somas parciais s n que oscilarão acima e abaixo do valor r .

Passo 2

Como temos ∑ a n convergente, então, pelo Teorema 11.2.6, deve-se ter necessariamente:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

E como o tamanho das oscilações s n - r é sempre menor do que a n por causa do modo como ∑ b n foi construída, nós teremos:

∑ b n = lim n → ∞ ⁡ s n = r

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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