Demonstre que, se ∑ a n for uma série condicionalmente convergente e r for qualquer número real, então existe um rearranjo de ∑ a n cuja soma é r . [Sugestões: Use a notação do Exercício 39. Tome o menor número de termos positivos a n + de modo que sua soma seja maior que r . Então adicione o menor número de termos negativos a n - de tal modo que a soma cumulativa seja menor que r . Continue dessa maneira e use o Teorema 11.2.6.]

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 44

Demonstre que, se for uma série condicionalmente convergente e for qualquer número real, então existe um rearranjo de cuja soma é . [Sugestões: Use a notação do Exercício 39. Tome o menor número de termos positivos de modo que sua soma seja maior que . Então adicione o menor número de termos negativos de tal modo que a soma cumulativa seja menor que . Continue dessa maneira e use o Teorema 11.2.6.]

Passo 1

Pessoal, vamos construir um rearranjo de conforme a sugestão do exercício, e chamar essa nova série de .

Tomando o menor número de termos positivos de modo que sua soma seja maior que , e então adicionando o menor número de termos negativos de tal modo que a soma cumulativa seja menor que , a série construída dessa forma terá somas parciais que oscilarão acima e abaixo do valor .

Passo 2

Como temos convergente, então, pelo Teorema 11.2.6, deve-se ter necessariamente:

E como o tamanho das oscilações é sempre menor do que por causa do modo como foi construída, nós teremos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que a série ∑ n = 0 ∞ x n / n ! converge para todo x .Deduza que o lim n → ∞ ⁡ x n / n ! = 0 para todo x .

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