(a) Mostre que x t dado na parte (a) do problema 15 pode ser escrito na forma x t = - 2 F 0 ω 2 - γ 2 . s e n 1 2 γ - ω t .s e n 1 2 γ + ω t (b) Se definirmos ε = 1 2 ( γ - ω ) , mostre que, quando ε for pequeno, uma solução aproximada será x t = F 0 2 ε γ . s e n ε t . s e n ( γ t ) (c) Calcule lim ε → 0 ⁡ F 0 2 ε γ . s e n ε t . s e n ( γ t )

c )lim ε → 0 ⁡ F 0 . t . cos ⁡ ε t . s e n ( γ t ) 2 γ = F 0 . t . s e n ( γ t ) 2 γ

Enunciado

(a) Vamos lá, na parte (a) do problema 15, encontramos

E queremos provar que isso é igual a

Sabemos que , então, fazendo e na equação , temos

Sabemos que , então:

O que nos leva à equação :

(b) Sabendo que e que é muito pequeno, temos que é um valor muito próximo de

Jogando isso na equação que temos:

Temos uma indeterminação , vamos usar L’Hospittal, derivando em cima e embaixo em relação a :

Então, fazendo :