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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 19

(a) Mostre que x t dado na parte (a) do problema 15 pode ser escrito na forma

x t = - 2 F 0 ω 2 - γ 2 . s e n 1 2 γ - ω t .   s e n 1 2 γ + ω t

(b) Se definirmos ε = 1 2 ( γ - ω ) , mostre que, quando ε for pequeno, uma solução aproximada será

x t = F 0 2 ε γ . s e n ε t . s e n ( γ t )

(c) Calcule lim ε → 0 ⁡ F 0 2 ε γ . s e n ε t . s e n ( γ t )

Passo 1

(a) Vamos lá, na parte (a) do problema 15, encontramos

x t = F 0 ω 2 - γ 2 . cos ⁡ γ t - cos ⁡ ω t     ( I )

E queremos provar que isso é igual a

x t = - 2 F 0 ω 2 - γ 2 . s e n 1 2 γ - ω t .   s e n 1 2 γ + ω t     ( I I )

Sabemos que s e n u . s e n v = cos ⁡ u - v - c o s ⁡ ( u + v ) 2 , então, fazendo u = 1 2 γ - ω t e v = 1 2 γ + ω t na equação ( I I ) , temos

x t = - 2 F 0 ω 2 - γ 2 . cos ⁡ 1 2 γ - ω t   - 1 2 γ + ω t - cos ⁡ 1 2 γ - ω t   + 1 2 γ + ω t 2

x t = - F 0 ω 2 - γ 2 . cos ⁡ γ t - ω t 2   - γ t + ω t 2 - cos ⁡ γ t - ω t 2 + γ t + ω t 2

x t = - F 0 ω 2 - γ 2 . cos ⁡ - ω t - cos ⁡ γ t

Sabemos que cos ⁡ - ω t = c o s ⁡ ( ω t ) , então:

x t = - F 0 ω 2 - γ 2 . cos ⁡ ω t - cos ⁡ γ t

O que nos leva à equação ( I ) :

x t = F 0 ω 2 - γ 2 . cos ⁡ γ t - cos ⁡ ω t

Passo 2

(b) Sabendo que ε = 1 2 ( γ - ω ) e que ε é muito pequeno, temos que γ é um valor muito próximo de ω

Jogando isso na equação que temos:

x t = - F 0 2 ε γ . s e n ( ε t ) .   s e n 1 2 2 γ t

x t = - F 0 2 ε γ . s e n ( ε t ) .   s e n γ t

Passo 3

(c) Agora vamos calcular:

lim ε → 0 ⁡ F 0 . s e n ε t . s e n ( γ t ) 2 ε γ

Temos uma indeterminação 0 0 , vamos usar L’Hospittal, derivando em cima e embaixo em relação a ε :

lim ε → 0 ⁡ F 0 . t . cos ⁡ ε t . s e n ( γ t ) 2 γ

Então, fazendo ε → 0 :

lim ε → 0 ⁡ F 0 . t . cos ⁡ ε t . s e n ( γ t ) 2 γ = F 0 . t . s e n ( γ t ) 2 γ

Resposta

c )   lim ε → 0 ⁡ F 0 . t . cos ⁡ ε t . s e n ( γ t ) 2 γ = F 0 . t . s e n ( γ t ) 2 γ

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