Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 20

Mostre diretamente, usando o teste da razão, que as duas soluções em série em torno do ponto da equação de Airy convergem para todo ; veja a Eq. (20) do texto.

Passo 1

Nesse problema vamos utilizar o teste da razão nas soluções da equação de Airy. Esse teste é usado para testar a convergência de uma série utilizando outra como comparação, já sabendo se a mesma é convergente ou não. O teste é definido por

sendo nossa sequência que queremos descobrir e uma sequência já conhecida.

Passo 2

Vamos utilizar esse teste dito no passo 1. Temos que a solução da equação de Airy já nos foi dada na Eq.(20) do texto. A mesma é

Para o teste da razão em , vamos usar , que é uma série convergente. Assim, temos que o teste fica

E temos que esse valor tende para zero, pois nosso denominador cresce mais que o numerador. Assim:

Para , fazendo o mesmo processo porém agora com , vamos ter que

Como queriamos que fosse.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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