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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 20

Mostre diretamente, usando o teste da razão, que as duas soluções em série em torno do ponto x = 0 da equação de Airy convergem para todo x ; veja a Eq. (20) do texto.

Passo 1

Nesse problema vamos utilizar o teste da razão nas soluções da equação de Airy. Esse teste é usado para testar a convergência de uma série utilizando outra como comparação, já sabendo se a mesma é convergente ou não. O teste é definido por

lim n → ∞ ⁡ c n a n

sendo a n nossa sequência que queremos descobrir e c n uma sequência já conhecida.

Passo 2

Vamos utilizar esse teste dito no passo 1. Temos que a solução da equação de Airy já nos foi dada na Eq.(20) do texto. A mesma é

y 1 x = 1 + ∑ n = 1 ∞ x 3 n 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 3 n - 1 3 n

y 2 x = x + ∑ n = 1 ∞ x 3 n + 1 3 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 3 n 3 n + 1 .

Para o teste da razão em y 1 x , vamos usar c n = x 3 n + 3 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 3 n + 2 3 n + 3 , que é uma série convergente. Assim, temos que o teste fica

lim n → ∞ ⁡ c n a n = lim n → ∞ ⁡ x 3 n + 3 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 3 n + 2 3 n + 3 x 3 n 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 3 n - 1 3 n = lim n → ∞ ⁡ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 3 n - 1 3 n ⋅ x 3 n + 3 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 3 n + 2 3 n + 3 ⋅ x 3 n =

= lim n → ∞ ⁡ x 3 3 n + 1 3 n + 2 3 n + 3

E temos que esse valor tende para zero, pois nosso denominador cresce mais que o numerador. Assim:

lim n → ∞ ⁡ x 3 3 n + 1 3 n + 2 3 n + 3 = 0

Para y 2 , fazendo o mesmo processo porém agora com c n = x 3 n + 4 3 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 3 n + 3 3 n + 4 , vamos ter que

lim n → ∞ ⁡ c n a n = lim n → ∞ ⁡ x 3 n + 4 3 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 3 n + 3 3 n + 4 x 3 n + 1 3 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 3 n 3 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 3 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 3 n 3 n + 1 ⋅ x 3 n + 3 3 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 3 n + 3 3 n + 4 ⋅ x 3 n + 1 =

= lim n → ∞ ⁡ x 3 3 n + 2 3 n + 3 3 n + 4 = 0

Como queriamos que fosse.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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