Considere a função f definida no problema 24, e seja e m = f x - s m ( x ) .

f x = 0 , - 3 ≤ x ≤ 0 , x 2 3 - x , 0 < x < 3

(a) Faça o gráfico de e m ( x ) em função de x para 0 ≤ x ≤ 3 para diversos valores de m .

(b) Encontre o menor valor de m para o qual e m ( x ) ≤ 0,1 para todo x .

Passo 1

Antes de começar, vamos retomar a série de Fourier obtida para o problema 24:

s m x = 9 8 + ∑ n = 1 m 162 - 1 n - 1 n π 4 - 27 - 1 n n π 2 cos ⁡ n π x 3 - ∑ n = 1 m 108 - 1 n + 54 n π 3 sen ⁡ n π x 3

Em poucas palavras, o exercício nos pede para verificar o quanto a série de Fourier se aproxima da função original e, para isso, iremos calcular a diferença entre os valores de f ( x ) e s m ( x ) . Conforme vamos aumentando o número de termos ( m ) da série o esperado é que essa diferença diminua. Por essa razão, o item (b) nos pede para continuar incrementando o valor de m até que seja atingida uma diferença de e m ( x ) ≤ 0 , 1 . Tudo bem até aqui? Vamos lá então.

Passo 2

Para resolver os dois itens precisamos do auxílio de uma ferramenta gráfica, como o Excel. O primeiro passo é fazer uma tabela de f ( x ) para vários valores no intervalo 0 ≤ x ≤ 3 . Para este exemplo, usar valores espaçados de 0,1 é o suficiente, ou seja, plotar valores para 0, 0.1, 0.2,..., 2.8, 2.9 e 3. Em seguida, devemos calcular os coeficientes da série de Fourier a n e b n para n variando de 1 até um valor de m arbitrário. Para o nosso caso, m = 100 é um valor razoável.

Depois de calcular os coeficientes, iremos aplicar a função s m ( x ) para os mesmos pontos em que aplicamos f ( x ) . O passo seguinte, é fazer a diferença f x - s m ( x ) para todos os pontos. A função e m ( x ) é dada pela soma de todas as diferenças no intervalo 0 ≤ x ≤ 3 .

Passo 3

O gráfico de e m ( x ) em função de m é apresentado a seguir:

Assim como o esperado, ao aumentar o número de termos da série a diferença e m x = f x - s m ( x ) → 0 , ou seja, para m → ∞ , a série de Fourier representa perfeitamente a função f ( x ) .

O item (b) nos pede para encontrar m em que e m ( x ) ≤ 0 , 1 . Pela tabela de valores de e m :

Podemos ver que para m em torno de 44, o valor de e m ( x ) ≤ 0 , 1 é atingido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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