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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 58

Mostre que se uma elipse e uma hipérbole tiverem os mesmos focos, então suas retas tangentes em cada ponto de intersecção são perpendiculares.

Passo 1

Olá, meu amigo. Confusa a questão? Relaxe que irei te ajudar a entender ela perfeitamente.

Queremos mostrar se uma elipse e uma hipérbole tiverem os mesmos focos, então suas retas tangentes em cada ponte de intersecção são perpendiculares.

Para ser mais simples, vamos usar uma elipse e um hipérbole centradas na origem.

Diremos que nossa elipse é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

e nossa hipérbole é:

x 2 c 2 - y 2 d 2 = 1

Então nossos focos serão:

F 1 e = - a 2 - b 2 , 0                           F 2 e = ( a 2 - b 2 , 0 )

F 1 h = - c 2 + d 2 , 0                               F 2 h = ( c 2 + d 2 , 0 )

Mas vamos lembrar que o enunciado nos disse que os focos coincidem, então:

a 2 - b 2 = c 2 + d 2

a 2 - b 2 = c 2 + d 2

Um ponto com coordenadas ( x 0 , y 0 ) é intersecção da elipse com a hipérbole se, e somente se

x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 = 1 ;       x 0 2 c 2 - y 0 2 d 2 = 1

Ou seja, se satisfizer as duas equações ao mesmo tempo.

Resolvendo o sistema, ficamos com

x 0 = ± a c b 2 + d 2 a 2 d 2 + b 2 c 2 ;         y 0 = ± b d a 2 - c 2 a 2 d 2 + b 2 c 2

Encontramos todas os quatro pontos de intersecção da elipse com a hipérbole.

Deveremos também encontrarmos duas retas tangentes, com coeficientes angulares m 1 e m 2 , e para que duas retas sejam perpendiculares, deveremos ter:

m 1 ⋅ m 2 = - 1

Passo 2

Agora precisamos analisar suas retas tangentes. A equação da reta tangente no ponto x 0 , y 0 da elipse é

b 2 x 0 x + a 2 y 0 y = a 2 b 2

y = b 2 y 0 - b 2 x 0 a 2 y 0 x

A equação da reta tangente à hipérbole no ponto ( x 0 , y 0 ) é dada pela equação:

d 2 x 0 x - c 2 y 0 y = c 2 d 2

y = d 2 x 0 c 2 y 0 x - d 2 y 0

Agora vamos fazer o produto das inclinações dessas retas:

- b 2 x 0 a 2 y 0 x   d 2 x 0 c 2 y 0 x = - b 2 d 2 a 2 c 2 x 0 2 y 0 2

Substituindo x 0 e y 0 , ficamos com:

= - b 2 d 2 a 2 c 2   ± a c b 2 + d 2 a 2 d 2 + b 2 c 2 2   ± b d a 2 - c 2 a 2 d 2 + b 2 c 2 2

- b 2 d 2 a 2 c 2   a 2 c 2 b 2 d 2 b 2 + d 2 a 2 - c 2 = - b 2 + d 2 a 2 - c 2  

Lembra que no iniciozinho da questão nós dissemos que a 2 - b 2 = c 2 + d 2 ? Não foi em vão, vamos usar isso agora!

Reescrevendo, ficamos com a 2 - c 2 = b 2 + d 2

Então

- b 2 + d 2 a 2 - c 2 =   - a 2 - c 2 a 2 - c 2 = - 1

Mas o que isso quer dizer?

Bom, como mentamos no passo 1, que sempre que a multiplicação da inclinação de duas retas for igual a - 1 nós temos duas retas perpendiculares.

Assim, provamos o que queríamos.

Resposta

Demonstração.

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