Mostre que as retas tangentes à parábola x 2 = 4 p y desenhadas a partir de um ponto qualquer na diretriz são perpendiculares.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar aqui nessa atividade. Fique tranquilo que daqui você já vai sair sabendo resolver essas e outras questões do tipo fácil fácil.

Queremos mostrar que as retas tangentes à parábola x 2 = 4 p y desenhadas em um ponto qualquer da diretriz são perpendiculares.

Para ficar mais fácil de entender isso, podemos olhar o desenho:

Deveremos então encontrarmos as nossas retas tangentes.

Então a reta tangente em um ponto ( x 0 , y 0 ) é

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

A primeira coisa que precisamos é da inclinação da reta tangente, que é dada derivando a função

x 2 = 4 p y

Bom, vamos derivar nossa equação para encontrar a inclinação:

x 2 = 4 p y

2 x = 4 p y '

y ' = x 2 p

Lembre-se de que: o produto da inclinação de duas retas perpendiculares é - 1 . Então teremos duas retas tangentes com inclinações m 1 e m 2 e o produto entre elas deverá ser:

m 1 ⋅ m 2 = - 1

Passo 2

De x 0 2 = 4 p y 0 tiramos que y 0 = x 0 2 4 p , aí podemos trocar isso na equação da reta tangente:

y - x 0 2 4 p = x 0 2 p ( x - x 0 )

Essa reta passa pelo ponto ( a , - p ) da diretriz, então substituindo esse ponto:

- p - x 0 2 4 p = x 0 2 p ( a - x 0 )

Multiplicando tudo por 4 p :

- 4 p 2 - x 0 2 = 2 a x 0 - 2 x 0 2

x 0 2 - 2 a x 0 - 4 p 2 = 0

Essa é hora que nós vamos dar o pulo do gato: completar quadrado!

x 0 2 - 2 a x 0 + a 2 = a 2 + 4 p 2

x 0 - a 2 = a 2 + 4 p 2

x 0 = a ± a 2 + 4 p 2

A inclinação das linhas tangentes em x = a ± a 2 + 4 p 2 .

Como y ' = x 2 p :

y ' = a ± a 2 + 4 p 2 2 p

Passo 3

Fazendo o produto dessas duas inclinações, ficamos com

= a + a 2 + 4 p 2 2 p     .     a - a 2 + 4 p 2 2 p =

= a 2 - ( a 2 + 4 p 2 ) 4 p 2   = - 4 p 2 4 p 2 = - 1

Mas o que isso quer dizer? Bom, agora precisamos lembrar das aulas de geometria analítica, quando aprendemos que sempre que a multiplicação da inclinação de duas retas for igual a - 1 nós temos duas retas perpendiculares.

Assim, provamos o que queríamos.

Resposta

Demonstração.

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