Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 32
A temperatura no ponto é dado por:
Onde é medido por e m metros.
- Encontre a taxa de variação no ponto na direção do ponto .
- Em qual direção a temperatura aumenta mais rápido em ?
- Encontre a taxa máxima de crescimento em .
Passo 1
Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade, está bom?
A gente tem que a temperatura em um ponto genérico é dada pela equação:
E a partir disso queremos saber encontrar algumas coisas.
Para encontrar a derivada da função dada na direção, calculamos o gradiente da função dada no ponto dado. Em seguida, calcularemos o produto ponto com o vetor de unidade calculado.
Sendo que é o vetor unitário do vetor que começa em e termina em .
Já na letra b), para encontrar a taxa de mudança de direção, encontraremos o gradiente de e então substituiremos o ponto dado.
A taxa máxima acontece na direção do gradiente, e é dada pelo modulo do vetor gradiente em direção :
Passo 2
-
Então, vamos calcular o vetor gradiente de:
O vetor gradiente é dado por:
Então, vamos achar essas derivadas:
Temos que:
Derivando parcialmente em relação a , veja que precisamos aplicar a regra da cadeia:
Agora a gente vai fazer de forma similar para as outras derivadas parciais:
Por último:
Dessa forma, o vetor gradiente fica:
No ponto :
Na direção do ponto :
Agora, é só calcular o vetor unitário desse cara:
Com isso:
Passo 3
- A direção na qual o crescimento é maior, é justamente a direção do gradiente no ponto P:
- Aqui, como vimos no passo 1, é só calcular o módulo do vetor gradiente no ponto :
A gente então substitui o ponto e descobre:
Passo 4
Calculando então esse modulo no ponto :