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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 32

A temperatura no ponto x , y , z é dado por:

T x , y , z = 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

Onde T é medido por º C e x , y , z m metros.

  1. Encontre a taxa de variação no ponto P 2 , - 1,2 na direção do ponto 3 , - 3,3 .
  2. Em qual direção a temperatura aumenta mais rápido em P ?
  3. Encontre a taxa máxima de crescimento em P .

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade, está bom?

A gente tem que a temperatura em um ponto x , y , z   genérico é dada pela equação:

T x , y , z = 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

E a partir disso queremos saber encontrar algumas coisas.

Para encontrar a derivada da função dada na direção, calculamos o gradiente da função dada no ponto dado. Em seguida, calcularemos o produto ponto com o vetor de unidade calculado.

D u T = ∇ T ⋅ u →

Sendo que u → é o vetor unitário do vetor que começa em 2 , - 1,2 e termina em 3 , - 3,3 .

Já na letra b), para encontrar a taxa de mudança de direção, encontraremos o gradiente de  f  e então substituiremos o ponto dado.

A taxa máxima acontece na direção do gradiente, e é dada pelo modulo do vetor gradiente em direção P :

∇ T x , y , z

Passo 2

  1. Então, vamos calcular o vetor gradiente de:

    T = 200 e - x 2 - 3 y 3 - 9 z 2

    O vetor gradiente é dado por:

    ∇ T = ∂ T ∂ x , ∂ T ∂ y , ∂ T ∂ z = T x , T y , T z

    Então, vamos achar essas derivadas:

    Temos que:

    T = 200 e - x 2 - 3 y 3 - 9 z 2

    Derivando parcialmente em relação a x , veja que precisamos aplicar a regra da cadeia:

    T x =   - 400 x e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

    Agora a gente vai fazer de forma similar para as outras derivadas parciais:

    T y = - 1200 y e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

    Por último:

    T z =   - 3600 z e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

    Dessa forma, o vetor gradiente fica:

    ∇ T =   - 400 x e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 , - 1200 y e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 , - 3600 z e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

    No ponto ( 2 , - 1,2 ) :

    ∇ T 2 , - 1,2 = - 800 e - 43 ,   1200 e - 43 , - 7200 e - 43

    Na direção do ponto ( 3 , - 3,3 ) :

    v = 3 i - 3 j + 3 k - 2 i - j + 2 k

    v = i + 2 j + k

    Agora, é só calcular o vetor unitário desse cara:

    u = v v = ( i 6 , - 2 j 6 , k 6 )

    Com isso:

    D u T = ∇ T ⋅ u →

    D u T = - 800 e - 43 ,   1200 e - 43 , - 7200 e - 43 ∙ i 6 , - 2 j 6 , k 6

    D u T = - 5200 ⋅ 6 3 e - 43

    Passo 3

  2. A direção na qual o crescimento é maior, é justamente a direção do gradiente no ponto P:

    3. A gente então substitui o ponto P e descobre:

    ∇ T 2 , - 1,2 = - 800 e - 43 ,   1200 e - 43 , - 7200 e - 43  

    ∇ T 2 , - 1,2 = - 2,3 , - 18

    Passo 4

  3. Aqui, como vimos no passo 1, é só calcular o módulo do vetor gradiente no ponto P :

∇ T x , y , z

Calculando então esse modulo no ponto P :

∇ T 2 , - 1,2 = - 800 e - 43 ,   1200 e - 43 , - 7200 e - 43

∇ T = 400 e - 43 2 2 + 3 2 + 18 2

∇ T = 400 e - 43 337

Resposta

  1. D u T = - 5200 ⋅ 6 3 e - 43
  2. ∇ T 2 , - 1,2 = - 2,3 , - 18
  3. ∇ T = 400 e - 43 337
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