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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.7 - Ex. 13

  1. Mostre que a equação de onda a 2 u x x = u t t pode ser reduzida à forma u x h = 0 pela mudança de variáveis ζ = x - a t ,   η = x + a t
  2. Mostre que u(x, t) pode ser escrita como

u ( x , t ) = ϕ ( x - a t ) + ψ ( x + a t ) , em que ϕ   e   ψ são funções arbitrárias.

Passo 1

Temos que:

a 2 u x x = u t t

Como ζ = x - a t ,   η = x + a t , então:

x = ζ + η 2 ,   t = η - ζ 2 a

u ( x , t ) = u ( ζ + η 2 , η - ζ 2 a )

Logo,

∂ u ∂ ζ = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ ζ + ∂ u ∂ t ∂ t ∂ ζ → ∂ u ∂ ζ = u x 1 2 - u t 1 2 a

E, manipulando matematicamente e utilizando a primeira equação que temos, chegamos em:

u ζ η = 0

Passo 2

Agora, u ( x , t ) pode ser representado como:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ k n s i n n π x L s i n n π a t L

u ( x , t ) = ϕ ( x - a t ) + ψ ( x + a t )

Resposta

  1. u ζ η = 0
  2. u ( x , t ) = ϕ ( x - a t ) + ψ ( x + a t )
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