Considere a equação de onda

a^2 \* u_xx = u_tt

em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciais

u(x, 0) = f(x), u_t(x, 0) = 0, -∞ < x < ∞.

  1. Usando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre que phi e psi têm que satisfazer
  2. ϕ(x) + ψ(x) = f(x)

    -phi(x) + psi'(x) = 0.

  3. Resolva as equações do item (a) para phi e psi, mostrando, assim, que
  4. u(x, t) = 1 / 2 [f(x-at) + f(x+at)] ;

    Essa forma da solução foi obtida por D’Alembert em 1746.

    Sugestão: Note que a equação psi'(x) = phi'(x) pode ser resolvida escolhendo psi(x) = phi(x) + c

  5. Seja f(x) = 2, -1 < x < 1
  6. f(x) = 0, caso contrário.

    Mostre que

    f(x-at) = 2, -1 + at < x < 1 + at

    f(x-at) = 0, caso contrário.

    Determine também f(x + at)

  7. Esboce o gráfico da solução encontrada no item (b) em t = 0, t = 1/2, t = 1/a e t = 2/a obtendo os resultados ilustrados na Figura 10.7.7. Note que um deslocamento inicial produz duas ondas movendo-se em sentidos opostos e afastando-se da localização inicial; cada onda consiste em metade do deslocamento inicial.

Passo 1

Na letra a:

Temos α ² u x x = u t t

Na letra a:

A partir da equação u ( x , 0 ) = ϕ ( x ) + ψ ( x ) = f ( x ) , chegamos em:

u t ( x , 0 ) = - a ϕ ' ( x ) + a ψ ' ( x ) = 0

Passo 2

Na letra b:

A partir de - ϕ ' ( x ) + ψ ' ( x ) = 0   o u   ϕ ' ( x ) = ψ ' ( x )

Integrando e resolvendo, chegamos em:

u ( x , t ) = 1 2 f ( x - a t ) + 1 2 f ( x + a t )

Passo 3

Na letra c:

Temos f ( x ) = 2 ,   - 1 < x < 1

0 ,   n o u t r o   c a s o

Se mudarmos x ⇒ x - a t

Teremos então:

f ( x - a t ) = 2 ,   - 1 < x - a t < 1   o u   - 1 + a t < x < 1 + a t

0 ,   n o u t r o   c a s o

Semelhantemente , se mudarmos x ⇒ x + a t

Teremos então:

f ( x + a t ) = 2 ,   - 1 < x + a t < 1   o u   - 1 - a t < x < 1 - a t

0 ,   n o u t r o   c a s o

Resposta

  1. u t ( x , 0 ) = - a ϕ ' ( x ) + a ψ ' ( x ) = 0
  2. u ( x , t ) = 1 2 f ( x - a t ) + 1 2 f ( x + a t )
  3. f ( x + a t ) = 2 ,   - 1 < x + a t < 1   o u   - 1 - a t < x < 1 - a t

0 ,   n o u t r o   c a s o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados