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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.7 - Ex. 16

Considere a equação de onda

a 2 u x x = u t t

em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciais

u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   u t ( x , 0 ) = 0 ,   - ∞ < x < ∞ .

  1. Usando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre que ϕ   e   ψ têm que satisfazer

    2. ϕ ( x ) + ψ ( x ) = f ( x ) ,

    - ϕ ( x ) + ψ ' ( x ) = 0 .

  2. Resolva as equações do item (a) para ϕ   e   ψ , mostrando, assim, que

    3. u ( x , t ) = 1 2 [ f ( x - a t ) + f ( x + a t ) ] ;

    Essa forma da solução foi obtida por D’Alembert em 1746.

    Sugestão: Note que a equação ψ ' ( x ) = ϕ ' ( x ) pode ser resolvida escolhendo ψ ( x ) = ϕ ( x ) + c .

  3. Seja f ( x ) = 2 ,   - 1 < x < 1 ,

    4. f ( x ) = 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o .

    Mostre que

    f ( x - a t ) = 2 ,   - 1 + a t < x < 1 + a t ,

    f ( x - a t ) = 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o .

    Determine também f ( x + a t ) .

  4. Esboce o gráfico da solução encontrada no item (b) em t = 0 ,   t = 1 / 2 ,   t = 1 / a   e   t = 2 / a , obtendo os resultados ilustrados na Figura 10.7.7. Note que um deslocamento inicial produz duas ondas movendo-se em sentidos opostos e afastando-se da localização inicial; cada onda consiste em metade do deslocamento inicial.

Passo 1

Na letra a:

Temos α ² u x x = u t t

Na letra a:

A partir da equação u ( x , 0 ) = ϕ ( x ) + ψ ( x ) = f ( x ) , chegamos em:

u t ( x , 0 ) = - a ϕ ' ( x ) + a ψ ' ( x ) = 0

Passo 2

Na letra b:

A partir de - ϕ ' ( x ) + ψ ' ( x ) = 0   o u   ϕ ' ( x ) = ψ ' ( x )

Integrando e resolvendo, chegamos em:

u ( x , t ) = 1 2 f ( x - a t ) + 1 2 f ( x + a t )

Passo 3

Na letra c:

Temos f ( x ) = 2 ,   - 1 < x < 1

0 ,   n o u t r o   c a s o

Se mudarmos x ⇒ x - a t

Teremos então:

f ( x - a t ) = 2 ,   - 1 < x - a t < 1   o u   - 1 + a t < x < 1 + a t

0 ,   n o u t r o   c a s o

Semelhantemente , se mudarmos x ⇒ x + a t

Teremos então:

f ( x + a t ) = 2 ,   - 1 < x + a t < 1   o u   - 1 - a t < x < 1 - a t

0 ,   n o u t r o   c a s o

Resposta

  1. u t ( x , 0 ) = - a ϕ ' ( x ) + a ψ ' ( x ) = 0
  2. u ( x , t ) = 1 2 f ( x - a t ) + 1 2 f ( x + a t )
  3. f ( x + a t ) = 2 ,   - 1 < x + a t < 1   o u   - 1 - a t < x < 1 - a t

0 ,   n o u t r o   c a s o

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