Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 65
Mostre que a equação polar , para a qual , representa um círculo e calcule seu centro e raio.
Passo 1
Para provar que essa equação representa um círculo, vamos ter que transformar ela em uma equação cartesiana e verificar se ela se encontra no formato de uma circunferência genérica
Onde é o centro da circunferência e é o seu raio.
Passo 2
Então vamos mudar para coordenadas cartesianas usando
Se isolarmos o cossenos na primeira e o seno na segunda ficamos com
Substituindo na nossa equação
Multiplicando a equação por
Agora podemos substituir
Essa equação já é uma equação de circunferência com o centro deslocado, agora para descobrir o centro e o raio teremos que completar quadrado.
Passo 3
Passando tudo para a esquerda e deixando o que tem e junto
Focando primeiro nos termos que tem vamos completar quadrado, para isso vamos buscar transformar em , então precisamos achar os valores de e
Fazendo a distributiva no parênteses temos
Pela igualdade de polinômios chegamos no seguinte sistema
Então , substituindo da equação
Como é constante, vamos passar pro lado direito
Seguindo agora a mesma lógica para chegamos em
Substituindo na equação
Chegamos na equação na forma .
Então a equação representa uma circunferência centrada no ponto e de raio .
Resposta
Circunferência centrada no ponto e de raio .