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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 65

Mostre que a equação polar r = a sen ⁡ θ + b cos ⁡ θ , para a qual a b ≠ 0 , representa um círculo e calcule seu centro e raio.

Passo 1

Para provar que essa equação representa um círculo, vamos ter que transformar ela em uma equação cartesiana e verificar se ela se encontra no formato de uma circunferência genérica

x - x c 2 + y - y c 2 = R 2

Onde ( x c , y c ) é o centro da circunferência e R é o seu raio.

Passo 2

Então vamos mudar para coordenadas cartesianas usando

x = r ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Se isolarmos o cossenos na primeira e o seno na segunda ficamos com

cos ⁡ θ = x r

sen ⁡ θ = y r

Substituindo na nossa equação

r = a sen ⁡ θ + b cos ⁡ θ

r = a y r   + b x r

Multiplicando a equação por r

r 2 = a y + b x

Agora podemos substituir r 2 = x 2 + y 2

x 2 + y 2 = a y + b x

Essa equação já é uma equação de circunferência com o centro deslocado, agora para descobrir o centro e o raio teremos que completar quadrado.

Passo 3

Passando tudo para a esquerda e deixando o que tem x e y junto

x 2 - b x + y 2 - a y = 0

Focando primeiro nos termos que tem x vamos completar quadrado, para isso vamos buscar transformar x 2 - b x em x - α 2 + β , então precisamos achar os valores de α e β

x 2 - b x = x - α 2 + β

Fazendo a distributiva no parênteses temos

x 2 - b x = x 2 - 2 x α + α 2 + β

Pela igualdade de polinômios chegamos no seguinte sistema

- b = - 2 α   ⇒ α = b 2 α 2 + β = 0 ⇒ β = - α 2 ⇒ β = - b 2 2

Então x 2 - b x = x - b 2 2 - b 2 4 , substituindo da equação

x 2 - b x + y 2 - a y = 0

x - b 2 2 - b 2 4 + y 2 - a y = 0

Como - b 2 4 é constante, vamos passar pro lado direito

x - b 2 2 + y 2 - a y = b 2 4

Seguindo agora a mesma lógica para y 2 - a y chegamos em

y 2 - a y = y - a 2 2 - a 2 4

Substituindo na equação

x - b 2 2 + y - a 2 2 - a 2 4 = b 2 4

x - b 2 2 + y - a 2 2 = b 2 4 + a 2 4

Chegamos na equação na forma x - x c 2 + y - y c 2 = R 2 .

Então a equação r = a sen ⁡ θ + b cos ⁡ θ representa uma circunferência centrada no ponto b 2 , a 2 e de raio b 2 + a 2 4 .

Resposta

x - b 2 2 + y - a 2 2 = b 2 4 + a 2 4

Circunferência centrada no ponto b 2 , a 2 e de raio b 2 + a 2 4 .

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