Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 56
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de .
Passo 1
Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.
A gente aqui quer encontrar a inclinação da reta tangente a curva polar dada por:
Isso no ponto:
A inclinação da reta tangente à uma função é dada pelo valor de sua primeira derivada, mas para equações polares não basta derivar a função em relação a , precisamos calcular o nosso amado , para isso basta que usemos a fórmula:
Essa fórmula é a fórmula da inclinação da reta tangente. Você já a utilizou outras vezes, ela é assim aqui pois estamos trabalhando com a curva polar.
Quando realizarmos essa derivada e as substituições na equação acima, deveremos aplicar o ponto:
A equação e assim encontrarmos o valor da inclinação neste local.
Passo 2
Apesar de não ser só calcular , vamos ter que calcular ele mesmo assim, hehe
Em uma soma, basta derivar cada termo
Passo 3
Agora substituímos o nosso na equação
Substituindo também o
Fazendo as distributivas, temos
Somando o que for possível
Podemos usar agora as relações no numerador e
no denominador, basta multiplicar a relação por que chegamos em
Passo 4
Por fim, vamos substituir
Podemos simplificar agora as frações, mas é melhor deixarmos tudo em fração, que se os denominadores das frações de cima e de baixo forem iguais, podemos simplificar
Multiplicando por não alteramos a equação, então vamos multiplicar por e calcelar as frações