Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.

x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 6y + 2z + 17 = 0

Passo 1

Aqui temos uma equação que representa a esfera, mas não sabemos as coordenadas do centro e muito menos o raio, até aí tudo bem.

Sabemos que a equação da esfera é a seguinte:

x - x ' 2 + y - y ' 2 + ( z - z ' ) 2 = r 2

Onde ( x ' ,   y ' , z ' ) é a coordenada do centro.

“Tá beleza, mas como eu vou achar essa coordenada?” Meuamigooo, é o seguinte, precisamos utilizar o método de completar os quadrados... calma! Não entremos em pânico! É só seguir o passo a passo:

Bom, precisamos tornar essas variáveis em equações irredutíveis e uma característica delas é que o valor de ∆ = 0 . Presta atenção:

Organizamos a equação:

x 2 + 8 x + y 2 - 6 y + z 2 + 2 z = - 17

A partir disso podemos calcular o e encontar o valor de c :

∆ = b 2 - 4 a c

-Para x 2 + 8 x :

0 = ( 8 ) 2 - 4 ( 1 ) c

c = 1 6

-Para y 2 - 6 y

0 = ( - 6 ) 2 - 4 ( 1 ) c

c = 9

-Para z 2 + 2 z :

0 = ( 2 ) 2 - 4 ( 1 ) c

c = 1

Agora, é só substituirmos, lembrando de somarmos no 2° membro também!!

x 2 + 8 x + 1 6 + y 2 - 6 y + 9 + z 2 + 2 z + 1 = - 17 + 16 + 9 + 1

Podemos escrevê-los em forma de produto notável, logo

x + 4 2 + y - 3 2 + z + 1 2 = 9

Assim, as coordenadas do centro são ( - 4 , 3 , - 1 ) e o raio é 3 !!

Beleza??!

Resposta

As coordenadas do centro são ( - 4,3 , - 1 ) e o raio é 3.

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