Suponha que a ≠ 0 .

  1. Se a • b = a • c é verdade que b = c ?
  2. Se a × b = a × c é verdade que b = c ?
  3. Se a ∙ b = a ∙ c e a × b = a × c é verdade que b = c ?

Passo 1

a )

Se a ∙ b = a ∙ c , então

a ∙ b - a ∙ c = 0

a ∙ ( b - c ) = 0

Ou seja, a única verdade que tiramos daí é que a é perpendicular ao vetor ( b - c ) .

E isso pode acontecer mesmo se b ≠ c .

Passo 2

b )

Se a × b = a × c , então

a × b - a × c = 0

a × ( b - c ) = 0

Ou seja, a única verdade que tiramos daí é que a é paralelo ao vetor ( b - c ) .

E isso pode acontecer mesmo se b ≠ c .

Passo 3

c )

Se a ∙ b = a ∙ c e a × b = a × c , já sabemos que

a ∙ ( b - c ) = 0

E

a × ( b - c ) = 0

O que significa que a é, portanto, ao mesmo tempo, perpendicular e paralelo ao vetor ( b - c ) .

E isso a gente JÁ sabe que é verdade das letras a e b .

Acotece que como a ≠ 0 , então, nesse caso em que ser perpendicular e paralelo a ( b - c ) já é uma solução, então só nos resta dizer que

b - c = 0

b = c

Ou seja, é verdade que b = c .

Resposta

a )

Não.

b )

Não.

c )

Sim.

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