1 ) Sejam P (x, y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω de ℝ2. Seja B ⊂ Ωum retângulo de lados paralelos aos eixos e de comprimentos Δx e Δy.Prove que existe (s, t) ∈ B tal que

∮_γ (P dx + Q dy) = [ (∂Q/∂x)(s, t) - (∂P/∂y)(s, t) ] ∆x ∆y

onde γ é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Aqui vamos precisar usar 2 teoremas para solucionar o Teorema de Green e o Teorema do Valor Medio para Integrais. O teorema de green diz que

∮ γ P d x + Q d y =   ∫ ∫ k ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Passo 2

Já o teorema do Valor médio diz que

∫ a b f x d x = f z b - a

Existe pelo menos um z tal que satisfaça essa equação.

Passo 3

Dessa forma podemos dizer que pelo Teorema de Valor Medio

∫ ∫ k ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y = ∂ Q ∂ x s , t - ∂ P ∂ y s , t ∆ x ∆ y  

Existe pelo menos um s e t tal que satisfaça essa equação. Além disso, ∆ x   e ∆ y são os intervalos de integração de x e y.Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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