Suponha que seja um polinômio não constante com zeros em e em . Explique como o Teorema do Valor Extremo junto ao Teorema de Rolle podem ser usados para mostrar que tem algum ponto crítico entre e .

Vamos analisar que não é uma constante polinomial com zeros em . Vamos considerar o intervalo fechado Nós sabemos que , com o Teorema de Valores Extremos, já uqe é contínuo em , deve existir um máximo absoluto e um mínimo absoluto em .

Agora, pelo Teorema de Rolle. Temos que já que é um polinômio difernciável em qualquer lugar do domínio. Com o Teorema de Rolle, sabemos que existe um , tal que :

Consequentemente, o ponto é um ponto extremo. E por isso, provamos que há um ponto crítico entre e .