Encontre o valor de b para o qual

1 + e^b + e^(2b) + e^(3b) + ... = 9

Passo 1

Oi pessoal! Primeiramente vamos relembrar a teoria de séries geométricas.

As séries geométricas têm a seguinte forma:

a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n - 1 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Onde a e r são números reais fixos e a ≠ 0 . Se   | r | < 1 , então r n → 0 quando n → ∞ e s n → a / ( 1 - r ) . A série converge para:

∑ n = 0 ∞ a r n = s n = a 1 - r

Pelo enunciado temos:

  • s n = 9 ;
  • a = 1 ;
  • r = e b .

Sendo assim, conseguimos descobrir o valor de b :

9 = 1 1 - e b

9 - 9 e b = 1

e b = 8 9

Aplicando logaritmo de ambos os lados:

ln ⁡ e b = ln ⁡ 8 9

b = ln ⁡ 8 9

Espero ter conseguido ajudar, até mais pessoal!

Resposta

b = ln ⁡ 8 9 .

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