Se f x = x + - x , mostre que existe lim x → 2 ⁡ f ( x ) , mas que não é igual a f ( 2 ) .

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:

f x = x + - x

Queremos calcular lim x → 2 ⁡ f ( x ) e dizer que não é igual a a f 2 .

Tá... mas que tipo de função é essa???

Bom... esse " "   refere-se a função maior inteiro, que basicamente arredonda um número decimal para o próximo número inteiro maior ou igual a ele.

Dessa forma, vamos calcular os limites laterais de lim x → 2 ⁡ f ( x ) e aplicar os conceitos da função maior inteiro, certinho??

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Pela direita temos:

lim x → 2 + ⁡ x + - x

Temos que:

x = 2 para 2 ≤ x < 3

E

- x = - 3 para - 3 ≤ x < - 2

Dessa forma, temos que o nosso limite é dado por:

lim x → 2 + ⁡ x + - x = lim x → 2 + ⁡ 2 + - 3

lim x → 2 + ⁡ x + - x = - 1

Passo 3

Agora pela esquerda:

lim x → 2 - ⁡ x + - x

Temos que

x = 1 para 1 ≤ x < 2

E

- x = - 2 para - 2 ≤ x < - 1

Dessa forma, temos que o nosso limite é dado por:

lim x → 2 - ⁡ x + - x = lim x → 2 - ⁡ 1 + - 2

lim x → 2 - ⁡ x + - x = - 1

Passo 4

Assim, como temos os limites laterais iguais a - 1 , ou seja:

lim x → 2 + ⁡ x + - x = lim x → 2 - ⁡ x + - x = - 1

Então podemos concluir que o limite:

lim x → 2 ⁡ x + - x

existe, e é igual a - 1 , ou seja:

lim x → 2 ⁡ x + - x = - 1

Passo 5

Agora vamos mostrar que o limite não é igual a f ( 2 ) :

f 2 = 2 + - 2

f 2 = 2 + - 2

f 2 = 0

Assim,

lim x → 2 ⁡ f ( x ) ≠ f ( 2 )

Resposta

lim x → 2 ⁡ x + - x = - 1

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