Mostre que existem naturais m e n para os quais a forma diferencial

3 * x^(m+1) * y^(n+1) * dx + 2 * x^(m+2) * y^n * dy

É exata.

Passo 1

Vamos lá, temos que:

3 x m + 1 y n + 1 = P

2 x m + 2 y n = Q

Para que seja exata, a gente precisa da condição necessária:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

3 n + 1 x m + 1 y n = 2   m + 2 x m + 1 y n

Simplificando isso, temos:

3 n + 3 = 2 m + 4

3 n + 3 m + 2 = 2

Passo 2

Com essa condição, teremos uma primitiva da forma:

φ x , y = 3 m + 2 x m + 2 y n + 1  

Porque olha só:

∂ φ ∂ x = 3 x m + 1 y n + 1 e ∂ φ ∂ y = 2 x m + 2 y n

(pode fazer um check-up aí!)

Um exemplo então é n = 1   e   m = 1 . Ou seja, existem m   e   n naturais que fazem com que a diferencial seja exata😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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