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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 9

9 ) Sejam V e F como no exercício anterior. Seja γ   ( t )   =   ( x   ( t ) ,   y   ( t ) ) , t ∈ I, uma curva tal que, para todo t no intervalo I, γ ’ ( t )   = F   ( γ   ( t ) ) . Prove que   g   ( t )   =   V   ( γ   ( t ) )   é decrescente em I. Conclua que se γ   ( t 0 ) ,   t 0   ∈   I , for um ponto da circunferência x 2   +   y 2   =   r 2 , então, para todo   t   ≥   t 0 ,   t   ∈   I ,   γ (t) pertencerá ao círculo x 2   +   y 2 ≤     r 2 Intérprete geometricamente

Passo 1

NO exercicio anterior tínhamos que

∇   V   ( x ,   y ) ·   F ( x ,   y )   ≤   0

A primeira coisa que vamos fazer é provar que g   ( t )   =   V   ( γ   ( t ) )   é decrescente em I.

Se você lembra de definição de derivada, tínhamos que se

g ' t < 0

Logo essa função era descendente. Como temos que g(t) é uma composição de funções

g   ( t )   =   V   ( γ   ( t ) )

Logo Se derivarmos g, teremos que fazer regra da cadeia

d d t g t = d d t V   γ   t ⋅ d d t γ   t

OU podemos escrever como

g ' t =   V '   γ   t ⋅ γ '   t

NO enunciado nos dizia que

γ ’ ( t )   = F   ( γ   ( t ) )

Assim aquela relação do exercicio anterior vale

∇   V   ( x ,   y ) ·   F ( x ,   y )   ≤   0

Como agora temos V t o Grad de V é apenas d d t V

∇   V   x ,   y   = d d t V   γ   t

Assim nossa derivada fica

g ' t =   ∇   V   ( x ,   y ) ·   F ( x ,   y )   ≤   0

Passo 2

Como podemos dizer que

g t = g r =   r 2

OU seja o raio ao quadrado do circulo

x 2   +   y 2   =   r 2

E essa função está decrescendo

g ' t < 0

Logo conforme t cresce, g ( t ) está em pontos cada vez mais internos desse circulo de raio r

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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