Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 17
- Mostre que, se for diferenciável no intervalo e se os gráficos de e de estiverem no mesmo sistema de coordenadas, então entre qualquer par de há pelo menos um de .
- Dê alguns exemplos que ilustrem isso.
Passo 1
(a) Isso é um jeito complicadinho de enunciar o Teorema de Rolle. O que o enunciado quer dizer é que se temos a função e sua derivada em um gráfico só, e houver um par de pontos onde a função passar pelo eixo , entre esse par de pontos, o gráfico da derivada vai passar pelo eixo .
Ou seja, você está lá com e no mesmo gráfico. Aí você vê que para e (uma par de pontos), o gráfico de corta o eixo :
O Teorema de Rolle diz que se isso acontece, há pelos menos um ponto , entre esses pontos, onde . Ou seja, entre esse par de pontos, o gráfico da nossa derivada passa pelo menos uma vez pelo eixo .
Passo 2
(b) Um exemplo é a função .
Repara que ela zera para valores de , sendo valores inteiros tipo e assim vai.
Já quando olhamos a sua derivada:
Vemos que ela zera para . Só que isso sempre vai acontecer entre e , uma par de valores onde a função zera.
Resposta
prova nos passos
(descrição nos passos)