Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 18
Reveja as Fórmulas (8) e (9) da Seção 2.1 e use o Teorema de Valor Médio para mostrar que, se for diferenciável em , então em qualquer intervalo há pelo menos um ponto em no qual a taxa de variação instantânea de em relação a é igual à taxa de variação média, no mesmo intervalo.
Passo 1
Vamos voltar lá na seção 2.1 e ver que a taxa de variação média no intervalo tem essa carinha:
E a taxa de variação instantânea de em relação a :
A ideia aqui é igualar essas duas expressões e ver se a relação que a gente achar faz algum sentido. Vamos lá!
Passo 2
De cara, a gente pode reparar que a definção de .
Se igualarmos as duas expressões:
E isso é exatamente o que o Teorema de Valor Médio diz: existe um valor de no intervalo tal que a derivada da função nesse valor é igual a inclinação da reta que passa pelos pontos e , que tem essa carinha:
Então pelo Teorema do Valor Médio a gente prova que isso é verdade.
Podemos até pensar naquele exemplo de que existe um ponto onde a velocidade média de um carro em um trecho é igual a velocidade instântane dele, e esse ponto fica dentro desse trecho.
Resposta
prova nos passos