Reveja as Fórmulas (8) e (9) da Seção 2.1 e use o Teorema de Valor Médio para mostrar que, se f for diferenciável em ( - ∞ ,+∞ ) , então em qualquer intervalo [ x 0 , x 1 ] há pelo menos um ponto em ( x 0 , x 1 ) no qual a taxa de variação instantânea de y em relação a x é igual à taxa de variação média, no mesmo intervalo.

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 18

Reveja as Fórmulas (8) e (9) da Seção 2.1 e use o Teorema de Valor Médio para mostrar que, se for diferenciável em , então em qualquer intervalo há pelo menos um ponto em no qual a taxa de variação instantânea de em relação a é igual à taxa de variação média, no mesmo intervalo.

Passo 1

Vamos voltar lá na seção 2.1 e ver que a taxa de variação média no intervalo tem essa carinha:

E a taxa de variação instantânea de em relação a :

A ideia aqui é igualar essas duas expressões e ver se a relação que a gente achar faz algum sentido. Vamos lá!

Passo 2

De cara, a gente pode reparar que a definção de .

Se igualarmos as duas expressões:

E isso é exatamente o que o Teorema de Valor Médio diz: existe um valor de no intervalo tal que a derivada da função nesse valor é igual a inclinação da reta que passa pelos pontos e , que tem essa carinha:

Então pelo Teorema do Valor Médio a gente prova que isso é verdade.

Podemos até pensar naquele exemplo de que existe um ponto onde a velocidade média de um carro em um trecho é igual a velocidade instântane dele, e esse ponto fica dentro desse trecho.

Resposta

prova nos passos

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