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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 48

Mostre que se f for um polinômio de grau três ou menor, então a Regra de Simpson dá o valor exato de ∫ a b f x d x .

Passo 1

Vamos fazer f um polinômio de grau ≤ 3 :

f x = A x 3 + B x 2 + C x + D

Aqui é suficiente mostrar que a estimativa de Simpson é exata quando existe dois subintervalos n = 2 , porque para um maior número de subintervalo a soma das estimativas exatas é exata.

Vamos usar x 0 = - h , x 1 = 0 e x 2 = h , aplicando na Regra de Simpson:

∫ - h h f x d x ≈ f - h + 4 f 0 + 2 f x 2 + f f h 3 = - A h 3 + B h 2 - C h + D + 4 D + A h 3 + B h 2 + C h + D h 3 = 2 B h 2 + 6 D h 3 = 2 3 B h 3 + 2 D h

Passo 2

Agora vamos calcular o valor exato da integral:

∫ - h h A x 3 + B x 2 + C x + D d x = 2 ∫ 0 h B x 2 + D d x = 2 B x 3 3 + D x 0 h = 2 3 B h 3 + 2 D h

Aqui usamos o Teorema das Integrais de funções simétricas. Onde se f for par f - x = f x . Então ∫ - a a f x d x = 2 ∫ 0 a f x d x .

Assim então, a Regra de Simpson dá o valor exato.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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