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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 55

Provar, sem indução matemática, que

∑ i = 1 n i 4 = n n + 1 [ 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 ) 30

(teorema 5.4.7).

Sugestão: i 4 - i - 1 4 = 4 i 3 - 6 i 2 + 4 i - 1 ;

assim,

Teorema 5.4.6:

∑ i = 1 n F i - F i - 1 = F n - F ( 0 )

Teorema 5.4.2:

∑ i = 1 n c = c n

Teorema 5.4.3:

∑ i = 1 n c F i = c   ∑ i = 1 n F ( i )

Teorema 5.4.4:

∑ i = 1 n F i + G i = ∑ i = 1 n F i + ∑ i = 1 n G ( i )

Fórmula 1:

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

Fórmula 2:

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

Fórmula 3:

∑ i = 1 n i 3 = n 2 n + 1 2 4

Passo 1

Primeiramente, começamos desenvolvendo o polinômio i - 1 5 :

i - 1 5 = i 5 - 5 i 4 + 10 i 3 - 10 i 2 + 5 i - 1

i 5 - i - 1 5 = 5 i 4 - 10 i 3 + 10 i 2 - 5 i + 1

Aplicando o somatório em ambos os lados:

∑ i = 1 n ( i 5 - i - 1 5 ) = ∑ i = 1 n ( 5 i 4 - 10 i 3 + 10 i 2 - 5 i + 1 )

No primeiro termo, da esquerda, iremos aplicar o teorema 5.4.6, considerando que F i = i 5 .

∑ i = 1 n i 5 - i - 1 5 = n 5 - 0 5 = n 5

No segundo termo aplicamos o teorema 5.4.4, seguido do 5.4.3

∑ i = 1 n ( 5 i 4 - 10 i 3 + 10 i 2 - 5 i + 1 ) =   5 ∑ i = 1 n i 4 - 10 ∑ i = 1 n i 3 +   10 ∑ i = 1 n i 2 - 5 ∑ i = 1 n i + ∑ i = 1 n 1

Aplicando as fórmulas 3, 2 e 1

∑ i = 1 n i 3 = n 2 n + 1 2 4

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

∑ i = 1 n i =   n ( n + 1 ) 2

E o teorema 5.4.2 no último somatório:

∑ i = 1 n 1 = n

Passo 2

Desta maneira, ficamos com:

n 5 =   5 ∑ i = 1 n i 4 - 10 n 2 n + 1 2 4 + 10 n n + 1 2 n + 1 6 - 5 n n + 1 2 + n

Isolando o somatório restante:

∑ i = 1 n i 4 =       1 5   n 5 + 10 n 2 n + 1 2 4 - 10 n n + 1 2 n + 1 6 + 5 n n + 1 2 - n

Colocando n 6 em evidência e reorganizando:

∑ i = 1 n i 4 =       n 30   6 ( n 4 - 1 ) + 15 n ( n + 1 ) ^ 2 - 10 n + 1 2 n + 1 + 15 ( n + 1 )

Lembrando que ( n 4 - 1 4 ) = ( x 2 + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) , colocando ( n + 1 ) em evidência e resolvendo:

∑ i = 1 n i 4 =       n n + 1 30 ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule as aproximações T 10 e M 10 para a integral ∫ 0 2 e - x 2 d x . Estime os erros nas aproximações na parte ( a ) .Qual o tamanho de n que devemos escolher para que as aproximações T neM n para