Provar, sem indução matemática, que
(teorema 5.4.7).
Sugestão: ;
assim,
Teorema 5.4.6:
Teorema 5.4.2:
Teorema 5.4.3:
Teorema 5.4.4:
Fórmula 1:
Fórmula 2:
Passo 1
Primeiramente, começamos utilizando a sugestão da questão:
No primeiro termo, da esquerda, iremos aplicar o teorema 5.4.6, considerando que .
No segundo termo aplicamos o teorema 5.4.4:
Aplicando agora o teorema 5.4.3:
Nestes dois últimos, aplicamos as fórmulas 2 e 1, respectivamente:
E o teorema 5.4.2 no último somatório:
Passo 2
Desta maneira, ficamos com:
Isolando o somatório restante:
Colocando em evidência:
Resolvendo as contas e reorganizando:
Colocando n em evidência:
Resolvendo:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)