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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 54

Provar, sem indução matemática, que

∑ i = 1 n i 3 = n 2 n + 1 2 4

(teorema 5.4.7).

Sugestão: i 4 - i - 1 4 = 4 i 3 - 6 i 2 + 4 i - 1 ;

assim,

Teorema 5.4.6:

∑ i = 1 n F i - F i - 1 = F n - F ( 0 )

Teorema 5.4.2:

∑ i = 1 n c = c n

Teorema 5.4.3:

∑ i = 1 n c F i = c   ∑ i = 1 n F ( i )

Teorema 5.4.4:

∑ i = 1 n F i + G i = ∑ i = 1 n F i + ∑ i = 1 n G ( i )

Fórmula 1:

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

Fórmula 2:

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

Passo 1

Primeiramente, começamos utilizando a sugestão da questão:

∑ i = 1 n i 4 - i - 1 4 =   ∑ i = 1 n ( 4 i 3 - 6 i 2 + 4 i - 1 )

No primeiro termo, da esquerda, iremos aplicar o teorema 5.4.6, considerando que F i = i 4 .

∑ i = 1 n i 4 - i - 1 4 = n 4 - 0 4 = n 4

No segundo termo aplicamos o teorema 5.4.4:

∑ i = 1 n ( 4 i 3 - 6 i 2 + 4 i - 1 ) =   ∑ i = 1 n 4 i 3 - ∑ i = 1 n 6 i 2 +   ∑ i = 1 n 4 i - ∑ i = 1 n 1

Aplicando agora o teorema 5.4.3:

∑ i = 1 n 4 i 3 = 4   ∑ i = 1 n i 3

∑ i = 1 n 6 i 2 = 6   ∑ i = 1 n i 2

∑ i = 1 n 4 i = 4 ∑ i = 1 n i

Nestes dois últimos, aplicamos as fórmulas 2 e 1, respectivamente:

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

∑ i = 1 n i =   n ( n + 1 ) 2

E o teorema 5.4.2 no último somatório:

∑ i = 1 n 1 = n

Passo 2

Desta maneira, ficamos com:

n 4 =   4 ∑ i = 1 n i 3 - 6 n n + 1 2 n + 1 6   - 4 n ( n + 1 ) 2 + n

Isolando o somatório restante:

∑ i = 1 n i 3 =       n 4 4 +   n n + 1 2 n + 1 4 - n n + 1 2 + n 4    

Colocando n 4 em evidência:

∑ i = 1 n i 3 =     n 3 +   n + 1 2 n + 1 - 2 n + 1 + 1 n 4    

Resolvendo as contas e reorganizando:

∑ i = 1 n i 3 =     n 3 + 2 n + n n 4    

Colocando n em evidência:

∑ i = 1 n i 3 =     n 2 + 2 + 1 n 2 4    

Resolvendo:

∑ i = 1 n i 3 =     n 2 n + 1 2 4    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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