Provar, sem indução matemática, que ∑ i = 1 n i 3 = n 2 n + 1 2 4 (teorema 5.4.7).Sugestão: i 4 - i - 1 4 = 4 i 3 - 6 i 2 + 4 i - 1 ;assim, Teorema 5.4.6: ∑ i = 1 n F i - F i - 1 = F n - F ( 0 ) Teorema 5.4.2: ∑ i = 1 n c = c n Teorema 5.4.3: ∑ i = 1 n c F i = c∑ i = 1 n F ( i ) Teorema 5.4.4: ∑ i = 1 n F i + G i = ∑ i = 1 n F i + ∑ i = 1 n G ( i ) Fórmula 1: ∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2 Fórmula 2: ∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

Enunciado

Primeiramente, começamos utilizando a sugestão da questão:

No primeiro termo, da esquerda, iremos aplicar o teorema 5.4.6, considerando que .

No segundo termo aplicamos o teorema 5.4.4:

Aplicando agora o teorema 5.4.3:

Nestes dois últimos, aplicamos as fórmulas 2 e 1, respectivamente:

E o teorema 5.4.2 no último somatório:

Desta maneira, ficamos com:

Isolando o somatório restante:

Colocando em evidência:

Resolvendo as contas e reorganizando:

Colocando n em evidência:

Resolvendo:

Ei, a resposta está no passo a passo :)