Provar, sem indução matemática, que
(teorema 5.4.7).
Sugestão: ;
assim,
No primeiro membro dessa equação usar o teorema 5.4.6:
No segundo membro, usar os teoremas 5.4.2:
Teorema 5.4.3:
Teorema 5.4.4:
E a Fórmula 1:
Passo 1
Primeiramente, começamos utilizando a sugestão da questão:
No primeiro termo, da esquerda, iremos aplicar o teorema 5.4.6, considerando que .
No segundo termo aplicamos o teorema 5.4.4:
Aplicando agora o teorema 5.4.3:
Neste último, aplicamos a fórmula 1:
E o teorema 5.4.2 no último somatório:
Passo 2
Desta maneira, ficamos com:
Isolando o somatório restante:
Colocando em evidência:
Reorganizando:
Lembrando da diferença de quadrados:
Colocando em evidência:
Resolvendo:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)