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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 34

  1. Mostre que, se f e g   forem função para as quais

    2. f ' x = g x       e   g ' x = f x

    Em cada x , então f 2 x - g 2 ( x ) é uma constante.

  2. Mostre que a função f x = 1 2 ( e x - e - x ) e a função g x = 1 2 e x + e - x tem essa propriedade.

Passo 1

  1. Devemos primeiramente diferenciar a função :

    2. h x = f 2 x - g 2 x

    h ' ( x ) = 2 f ' x f x - 2 g ' x g x = 0

    h ' = 0

    O livro diz que se:

    F '   ( x ) = f ' x - g ' x = 0

    É constante no intervalo pois tem o mesmo valor em pontos arbitrários, e portanto, são constantes.

    De modo que a equação é constante.

    Aplicando o teorma da diferenciação constante, existe uma constante k , tal que :

    f 2 x - g 2 x = k

    Passo 2

  2. O primeiro passo para provar que as funções f x e g ( x ) tem essa propriedade, devemos diferenciar as duas funções.

Primeiro, vamos diferenciar f x :

f x = 1 2 ( e x + e - x )

f ' = 1 2 e x - e - x = g ( x )

Agora, diferenciamos g ( x ) :

g x = 1 2 e x - e - x

g ' = 1 2 e x + e - x = f ( x )

Agora, substituiremos os termos na função para provar a propriedade:

f 2 x - g 2 x = 1 2 e x + e - x 2 - 1 2 e x - e - x 2

f 2 x - g 2 x = 1 4 ( e x + e - x ) 2 - 1 4 ( e x - e - x ) 2

Abrindo o cálculo:

f 2 x - g 2 x = 1 4 ( e 2 x + 2 e x . e - x + e - 2 x - e 2 x + 2 e x . e - x - e - 2 x )

Simplificando os termos:

f 2 x - g 2 x = 1 4 2 e x . e - x + 2 e x . e - x

Supor que x = 0 :

f 2 x - g 2 x = 1 4 4 e x . e - x

f 2 x - g 2 x = 1 4 4 = 1

f 2 x - g 2 x = 1

Provando portanto, que é constante.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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