Se f(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - x então f'(x) = 4*x^3 - 6*x^2 + 4*x - 1 . Prove, pelo teorema de Rolle, que a equação a segui tem pelo menos uma raiz real no intervalo aberto (0, 1) :

4 * x^3 - 6 * x^2 + 4 * x - 1 = 0

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, portanto é contínua e derivável para todo número real. Em particular, também será contínua no intervalo [ 0 ,   1 ] e derivável em ( 0 ,   1 ) .

Passo 2

Vamos observar o comportamento de f nos extremos do intervalo [ 0 ,   1 ] .

→ x = 0 :

f 0 = 0 4 - 2 0 3 + 2 0 2 - 0 = 0

→ x = 1 :

f 1 = 1 4 - 2 1 3 + 2 1 2 - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0

Como f 0 = f ( 1 ) , pelo teorema de Rolle temos que existe c ∈ ( 0 ,   1 ) tal que f ' c = 0 .

Assim, existe c ∈ ( 0 ,   1 ) tal que 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x - 1 = 0 , como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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